误差理论与数据处理
实验指导书
测控技术与仪器教学部
目录
实验一 误差的基本概念 实验二 误差的基本性质与处理 实验三 误差的合成与分配 实验四 实验五 实验六 实验七 实验八
测量不确定度
线性参数的最小二乘法处理 回归分析
虚拟直线拟合演示仪
直线位移传感器输出电压与位移直线拟合
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matlab软件介绍
MATLAB 语言是当今国际上科学界 (尤其是自动控制领域) 最具影响力、也是最有活力的软件。它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能。MATLAB 语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。
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实验一 误差的基本概念
一、实验目的
通过实验了解误差的定义及表示法、熟悉误差的来源、误差分类以及有效数字与数据运算。
二、实验原理
1、误差的基本概念
所谓误差就是测量值与真实值之间的差，可以用下式表示
误差=测得值-真值
（一） 绝对误差
某量值的测得值和真值之差为绝对误差，通常简称为误差。
绝对误差=测得值-真值
（二） 相对误差
绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差，因测得值与真值接近，故也可以近似用绝对误差与测得值之比值作为相对误差。 相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值 （三） 引用误差
所谓引用误差指的是一种简化和使用方便的仪器仪表表示值的相对误差，它以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得的比值称为引用误差。 引用误差=示值误差/测量范围上限 2、精度
反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度，它与误差大小相对应，因此可以用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。
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精度可分
ⅰ准确度 它反映测量结果中系统误差的影响程度 ⅱ精密度 它反映测量结果中随机误差的影响程度
ⅲ精确度 它反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可以用测量的不确定度来表示。
3、有效数字与数据运算
含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。 数字舍入规则如下：
①若舍入部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加1。 ②若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位加1。 ③若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。即当末位为偶数时则末位不变，当末位为奇数时则末位加1。
三、实验内容
1、用自己熟悉的语言编程实现对绝对误差和相对误差的求解。 2、按照数字舍入规则，用自己熟悉的语言编程实现对下面数据保留四位有效数字进行凑整。 原有数据 舍入后数据 3.14159 2.71729 4.51050 3.21551 6.378501 四、实验总结
运行编制的程序，分析运行结果，并写出实验报告。
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实验二 误差的基本性质与处理
一、实验目的
了解误差的基本性质以及处理方法
二、实验原理
（1）正态分布
设被测量的真值为L0，一系列测量值为Li，则测量列中的随机误差?i为
?i=Li-L0 （2-1）
式中i=1，2，…..n. 正态分布的分布密度f????1??2??1e??2??2 （2-2）
正态分布的分布函数F?????????e??2?2??d?（2-3）
2式中?-标准差（或均方根误差）； 它的数学期望为
E???f???d??0 （2-4）
????它的方差为
????2f???d? （2-5）
2????（2）算术平均值
对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。 1、算术平均值的意义
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在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n而得的值成为算术平均值。
设 l1，l2，…,ln为n次测量所得的值，则算术平均值
lil1?l2?...ln?x??i?1
nn算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x必然趋近于真值L0。
nvi? li-x
li——第i个测量值，i=1,2,...,n; vi——li的残余误差（简称残差）
2、算术平均值的计算校核
算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。 残余误差代数和为：
?v??l?nx
iii?1i?1nn当x为未经凑整的准确数时，则有
?vi?1ni?0
1）残余误差代数和应符合： 当
?l=nx，求得的x为非凑整的准确数时，?v为零；
iii?1i?1nn 7
当
?l>nx，求得的x为凑整的非准确数时，?v为正；其大小为求x时
iii?1i?1nn的余数。 当
?l iinni?1i?1的亏数。 2）残余误差代数和绝对值应符合： n当n为偶数时， ?vni?i?12A; n当n为奇数时， ?v???ni?2?0.5?i?1??A 式中A为实际求得的算术平均值x末位数的一个单位。 （3）测量的标准差 测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。 1、测量列中单次测量的标准差 n2222?i???1??2?...??nn??i?1n 式中 n—测量次数（应充分大） ?i —测得值与被测量值的真值之差 ???nv2ii?1n?1 2、测量列算术平均值的标准差 8 ?x?3、标准差的其他计算法 1． ?n 别捷尔斯法 ??1.253三、实验内容： ?vi?1nin(n?1) 1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 li/mm 24.674 24.675 24.673 24.676 24.671 24.678 24.672 24.674 vi/mm vi2/mm2 假定该测量列不存在固定的系统误差，则可按下列步骤求测量结果。 1、 算术平均值 2、求残余误差 3、校核算术平均值及其残余误差 4、判断系统误差 9 5、求测量列单次测量的标准差 6、判别粗大误差 7、求算术平均值的标准差 8、求算术平均值的极限误差 9、写出最后测量结果 四、实验总结 运行编制的程序，分析运行结果，并写出实验报告。 10 实验三 误差的合成与分配 一、实验目的 通过实验掌握误差合成与分配的基本规律和基本方法。 二、实验原理 （1）误差合成 间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，这种误差为函数误差。研究函数误差的内容实质上就是研究误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误差计算，称为误差合成。 ● 随机误差的合成 随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。 1． 标准差的合成 若有q个单项随机误差，他们的标准差分别为?1，?2，…，?q，其相应的误差传递系数为a1，a2，…，aq。 根据方和根的运算方法，各个标准差合成后的总标准差为 ???(a?)iii?1q2?2??ijaiaj?i?j 1?i?jq一般情况下各个误差互不相关，相关系数?ij=0，则有 ???(a?)iii?1q2 2． 极限误差的合成 11 在测量实践中，各个单项随机误差和测量结果的总误差也常以极限误差的形式来表示，因此极限误差的合成也很常见。 若已知个单项极限误差为?1，?2，...，?q，且置信概率相同，则按方和根合成的总极限误差为 ????(a?)iii?1q2?2??ijaiaj?i?j 1?i?jq● 系统误差的合成 系统误差的大小是评定测量准确度高低的标志，系统误差越大，准确度越低；反之，准确度越高。 1、 已定系统误差的合成 已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。在测量过程中，若有r个单项已定系统误差，其误差值分别为?1，?2，…，?r，相应的误差传递系数为a1，a2，…，ar，则代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为： ???ai?i i?1r2、 未定系统误差的合成 ①标准差的合成： 若测量过程中有s个单项未定系统误差，它们的标准差分别为 u1,u2,...,us,其相应的误差传递系数为a1,a2,...,as,则合成后未定系 统误差的总标准差为 u??(au)iii?1s2?2??ijaiajuiuj 1?i?js 12 当?ij=0，则有 u??(au)iii?1q2 ②极限误差的合成 因为各个单项未定系统误差的极限误差为 ei??tiui i=1，2，…s 总的未定系统误差的极限误差为 e?tu 则可得 e??t?(au)iii?1s2?2??ijaiajuiuj 1?i?js当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且?ij=0，则有 e???(ae)iii?1s2 ● 系统误差与随机误差的合成 当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差，应将其进行综合，以求得最后测量结果的总误差。 1、 按极限误差合成 若测量过程中有r个单项已定系统误差，s个单项未定系统误差，q个单项随机误差，他们的误差值或极限误差分别为 ?1，?2，…，?r e1，e2，…，es ?1，?2，...，?q 13 设各个误差传递系数均为1，则测量结果总的极限误差为 q?ei????????i?t??????i??R i?1i?1?ti?i?1?ti?rs22R——各个误差间协方差之和 当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，上式可简化为????i?i?1r??ei?????i?i?1i?1ss2q2 系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根???2、 按标准差合成 用标准差来表示系统误差与随机误差的合成公式，只需考虑未定系统误差与随机误差的合成问题。 若测量过程中有s个单项未定系统误差，q个单项随机误差，他们的标准差分别为u1,u2,...,us,?1,?2,...,?q, 为计算方便，设各个误差传递系数均为1，则测量结果总的标准差为 ??ei?????i?i?1i?12q2 ???u???2ii?1i?1ssq2i?R 式中R为各个误差间协方差之和，当合格误差间互不相关时，上式可简化为???u???2ii?1i?1q2i 对于n次重复测量，测量结果平均值的总标准差公式则为 1q2???ui???i ni?1i?1s2 14 （2）误差分配 测量过程皆包含多项误差，而测量结果的总误差则由各单项误差的综合影响所确定。给定测量结果总误差的允差，要求确定各单项误差就是误差分配问题。 1、现设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，则有 ??f???f?2??f?2?y????12????...??2???1 ?x?x?x?1??2??1?=a1?1?a2?2?...?an?n =D1?D2?...?Dn 222222222222Di——函数的部分误差。 若已给定?y，需确定Di或相应?i，使满足 ?y?D12?D22?...?Dn2 式中Di可以是任意值，为不确定解，需按下列步骤求解。 ① 按等作用原则 ② 按可能性调整误差 ③ 验算调整后的总误差 三、实验内容 1、弓高弦长法简介测量大直径。直接测得弓高h、弦长s，根据h，s间的函数关系利用熟悉的语言编程求解出直径D，以及直径的系统误差、随机误差和所求直径的最后结果。 15 s2D??h 4hh=50mm,?h=-0.1mm, ?limh??0.05 s=500mm, ?s=1mm, ?lims=?0.1 运行编制的程序，分析运行结果，并写出实验报告。 四、实验总结 16 实验四 测量不确定度 一、实验目的 测量不确定度是评定测量结果质量高低的一个重要指标。通过本次实验要求掌握测量不确定的基本概念、测量不确定度的评定方法、测量不确定度的合成以及评定和表示测量不确定度的基本步骤。 二、实验原理 （1）测量不确定度 测量不确定度是指测量结果变化的不肯定，是表征被测量的真值在某个量值范围的一个估计，是测量结果含有的一个参数，用以表示被测量值的分散性。 （2）标准不确定度的评定 A类评定：用统计法评定，其标准不确定度u等同于由系列观测值获得的标准差?，即u=?。 B类评定：不用统计法评定，而是基于其他方法估计概率分布或分布假设来评定标准差并得到标准不确定度。 （3）合成标准不确定度 当测量结果受到多种因素影响形成了若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度用各标准不确定度分量合成所得的合成标准不确定度uc表示。在间接测量中，被测量Y的估计值y是由N个其他量的测得值x1,x2,...,xn的函数求得，即 y?f(x1,x2,...,xn) 且各直接测的值xi的测量标准不确定度为uxi，它对被测量值影 17 响的传递系数为?f/?xi则由xi引起被测量y的标准不确定度分量为 ui??fuxi ?xi而测量结果y的不确定度uy应是所有不确定度分量的合成，用合成标准不确定度uc来表征，计算公式为 N??f??f?f2uc???u?2?ijuxiuxj ???xi??x?x?xi?1?1?i?ji?ijN2?ij为任意两个直接测量值xi与xj的相关系数。若xi、xj的不确 定度相互独立，即?ij=0，则合成标准不确定度计算公式可表示为 ??f?2uc???u???xi ?xi?1?i?N2当?ij=1，且 ?f?f?f?f、同号，或?ij=-1，且、异号，则?xi?xj?xi?xj合成标准不确定计算公式可表示为 uc??i?1N?fuxi ?xi若引起不确定度分量的各种因素与测量结果没有确定的函数关系，则应根据具体情况按A类或B类评定方法来确定各不确定度分量 ui的值，然后按照上述不确定度合成方法求得合成标准不确定度为 uc??ui?1N2i?2??ijuiuj 1?i?jN（4）测量不确定度计算步骤 ① 分析测量不确定度的来源，列出对测量结果影响显著的不确 18 定度分量； ② 评定标准不确定度分量，并给出其数值ui和自由度?i； ③ 分析所有不确定度分量的相关性，确定各相关系数?ij； ④ 求测量结果的合成标准不确定度uc及自由度?； ⑤ 若需要给出伸展不确定度，则将合成标准不确定度uc乘以包 含因子k，得伸展不确定度U?kuc； ⑥ 给出不确定度的最后报告，以规定的方式报告被测量的估计 值y及合成标准不确定度uc或伸展不确定度U，并说明它们的细节。 三、实验内容 1．由分度值为0 .01mm的测微仪重复6次测量直径D和高度h，测得数据如下： Di/mm hi/mm 8.075 8.105 8.085 8.115 8.095 8.115 8.085 8.110 8.080 8.115 8.060 8.110 请按测量不确定度的一般计算步骤，用自己熟悉的语言编程完成不确定度分析。 四、实验总结 运行编制的程序，分析运行结果，并写出实验报告。 19 实验五 线性参数的最小二乘法处理 一、 实验目的 最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法。通过实验要求掌握最小二乘法基本原理、正规方程以及组合测量的最小二乘法处理办法。 二、实验原理 （1）测量结果的最可信赖值应在残余误差平方和为最小的条件下求出，这就是最小二乘法原理。即 22v12?v2?...?vn?[v2]=最小 （2）正规方程 最小二乘法可以将误差方程转化为有确定解的代数方程组（其方程式的数目正好等于未知数的个数），从而可求解出这些未知参数。这个有确定解的代数方程组称为最小二乘法估计的正规方程。 （3）精度估计 为了确定最小二乘估计量x1,x2,...,xt的精度，首先需要给出直接测量所得测量数据的精度。测量数据的精度也以标准差?来表示。因为无法求得?的真值，只能依据有限次的测量结果给出?的估计值，所谓精度估计，实际上是求出估计值。 （4）组合测量是通过直接测量待测参数的各种组合量，然后对这些测量数据进行处理，从而求得待测参数的估计量，并给出其精度估计。 三、实验内容 1、 如下图所示已知直接测量刻线的各种组合量，要求检定刻线A、B、 C、D间距离x1 、x2、 x3，测量数据的标准差以及估计量的标 20 准差。 （1） x1 x2 x3 A B C D l6 l4 l1 l2 l3 l5 l1=2.018mm l2=1.986mm l3=2.020mm l4= 4.020mm l5=3.984mm l6=6.030mm 四、实验总结 运行编制的程序，分析运行结果，并写出实验报告。 21 实验六 回归分析 一、实验目的 回归分析是数理统计中的一个重要分支，在工农业生产和科学研究中有着广泛的应用。通过本次实验要求掌握一元线性回归和一元非线性回归。 二、实验原理 回归分析是处理变量之间相关关系的一种数理统计方法。即用应用数学的方法，对大量的观测数据进行处理，从而得出比较符合事物内部规律的数学表达式。 1、一元线形回归方程 a、回归方程的求法 ?y?y?b(x?x) 1N1其中x? ，xy??iNi?1Nb、回归方程的稳定性 回归方程的稳定性是指回归值?y的波动大小。波动愈小，回归方程的稳定性愈好。 ?y ii?1N????b?x?by022221(x?x)2????2x?b0b?? yNlxx2、回归方程的方差分析及显著性检验 （1）回归问题的方差分析 观测值y1,y2...,yN之间的差异，是由两个方面原因引起的：①自变量x取值的不同；②其他因素（包括试验误差）的影响。 22 N个观测值之间的变差，可用观测值y与其算术平均值y的离差平方和来表示，称为总的离差平方和。记作 S??(yt?y)2?lyy i?1NS?U?Q U??(?yt?y)2称为回归平方和，它反映了在y总的变差中由于x i?1N和y的线性关系而引起变化的部分。 Q??(yt??yt)2成为残余平方和，既所有观测点距回归直线的残余 i?1N误差平方和。它是除了x对y的线性影响之外的一切因素对y的变差作用。 （2）回归方程显著性检验 回归方程显著性检验通常采用F检验法。 F?U/?U Q/?Q2、 重复实验的情况 为了检验一个回归方程拟合得好坏，可以做重复实验，从而获得误差平方和和失拟平方和，用误差平方和对失拟平方和进行F检验，就可以确定回归方程拟合得好坏。 S?U?QL?QE 23 U?mblxy??Ql?mlyy?U??nm 2?QE???(yti?yi)?t?1i?1??S?U?QL?QE? 三、实验内容 采用回归分析算法用matlab编程实现下列题目的要求。 1、材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料实验数据如下： 正应力x/pa 26.8 抗剪强度y/pa 26.5 25.4 27.3 28.9 24.2 23.6 27.1 27.7 23.6 23.9 25.9 24.7 26.3 28.1 22.5 26.9 21.7 27.4 21.4 22.6 25.8 25.6 24.9 假设正应力的数值是精确的，求①减抗强度与正应力之间的线性回归方程。②当正应力为24.5pa时，抗剪强度的估计值是多少？ 2、在制定公差标准时，必须掌握加工的极限误差随工件尺寸变化的规律。例如，对用普通车床切削外圆进行了大量实验，得到加工极限误差Δ与工件直径D的统计资料如下： D/mm 5 Δ/μm 8 10 11 50 19 100 23 150 27 200 29 250 32 300 33 350 35 400 37 求极限误差Δ与工件直径D0关系的经验公式？ 24 3、在4种不同温度下观测某化学反应生成物含量的百分数，每种在同一温度下重复观测3次，数据如下： 温度x/0c 150 77.4 76.7 78.2 200 84.1 84.5 83.7 250 88.9 89.2 89.7 300 94.8 94.7 95.9 生成物含量的百分数y 求y对x的线性回归方程，并进行方差分析和显著性检验。 4、用x光机检查镁合金铸件内部缺陷时，为了获得最佳的灵敏度，透视电压y应随透视件的厚度x而改变，经实验获得下表所示一组数据，假设透视件的厚度x无误差，试求透视电压y随厚度x变化的经验公式。 x/mm 12 y/kv 13 14 15 16 18 20 22 24 26 52.0 55.0 58.0 61.0 65.0 70.0 75.0 80.0 85.0 91.0 四、实验总结 运行编制的程序，分析运行结果，并写出实验报告。 25 实验七 虚拟直线拟合演示仪 一、实验目的 使用虚拟仪器设计虚拟直线拟合演示仪，学习虚拟仪器编程方法和直线拟合的基本方法。 二、实验原理 在很多情况下，需要确定两个量之间的函数关系。例如，输入量x在某一数值范围内变化，需要精确测量系统输出量y的相应数值变化，并进一步确定它们之间的函数关系y=f(x)。在标准条件下，无系差、等精度进行多次测量，获得一组实验数据： xj:x1,x2,x3…xj…xN yj:y1,y2,y3…yj…yN 其中，j=1,2,3…N为标定点序号。 直线拟合就是确定一条直线，该直线方程为： y=a0+a1x 该直线方程给出值y=a0+a1x与实验标定值yj之间符合最小二乘准则及均方差最小准则。 第j个标定点的标定值yj与拟合直线上相应值的偏差为： 最小二乘法拟合直线的拟合原则是使N个标定点的均方差： 为最小值。由一阶偏导等于0： 26 可得两个方程式。并解得两个未知量a0，a1的表达式如下： Labwindows/CVI提供的线性拟合库函数为LinFit()，可直接求得拟合直线、斜率a1和截矩a0。 三、实验内容 使用虚拟仪器编程工具Labwindows/CVI或者LabVIEW，设计一个虚拟直线拟合演示仪。面板上的输入如下： x值： y值： N值： 输出包括： 斜率： 截矩： 在显示框中显示出拟合出的曲线。 四、实验总结 在虚拟仪器开发环境中编写程序，编译通过运行，完成实验报告。 27 实验八 直线位移传感器输出电压与位移直线拟合 一、实验目的 了解直线位移传感器原理及结构，学习使用万用表测量直线位移传感器输出信号以及对传感器输出特性曲线进行拟合分析。 二、实验原理 直线位移传感器被广泛运用于工业控制、仪器仪表等多个领域，对实际物体的直线位移进行测量，转换为电压模拟信号。本实验使用SET-300测控技术综合实验系统，直线位移传感器及变送器采样差动变压器式位移传感器，一体化变送器。 量程：0－25mm； 精度：0.5％； 输出：0－5V 供电：+12V 三、实验内容 所需设备：应变力测量控制仪、应力实验装置（0-5Kg）、SET-300主控台、计算机、数字万用表。 1、系统组建工作： 1）按照ET-300测控技术综合实验系统使用说明书安装好直线位移控制仪，接好电源线。 2）检查接线无误后，抬起直线位移测量控制仪上的“手动/自动”按钮，使系统处于“手动”调节状态。 3）手动调节电位逆时针至最小，打开各部分电源开关。 4）拧松测控仪顶部的传感器固定螺钉，使传感器的活动顶杆端与执行机构的圆盘相接触，左、右调节传感器，使数显表指示为零，拧紧固定螺钉（出厂时已做调整，一般无需调整） 5）顺时钟调节手动电位器，观察执行机构的运动情况并注意观察数显表指 28 示的位移值。 2、顺时钟调节手动电位器，观察执行机构的运动情况并注意观察数显表指示的位移值。每隔2mm用万用表记录下测控仪A/D输出端电压，这是位移变送器输出的0—5V信号电压。将数据记录到下表中： 位移(mm) 电压(V) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 根据以上数据拟和位移与AD采样值之间的变化曲线。 四、实验总结 认真做好实验数据记录，可以运用实验七编写好的虚拟直线拟合演示仪直接拟合出曲线，完成实验报告。 29