2020届高三好教育精准培优专练

培优点二十 几何概型

一、长度类几何概型

2例1：若a是从区间[0,20]中任取的一个实数，则函数y?x?ax?4无零点的概率是（ ） A．0.3 【答案】B

【解析】方程x?ax?4?0无实解，则Δ?a?16?0，即(a?4)(a?4)?0??4?a?4， 又a?[0,20]，∴0?a?4，其构成的区域长度为4， 从区间[0,20]中任取一个实数a构成的区域长度为20， 则方程x?ax?4?0无实解的概率是

222B．0.2 C．0.1 D．0.4

4?0.2．故选B． 20二、面积类几何概型

例2：（1）图形类几何概型

例题2-1：如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是（ ）

A．

1 4B．

π 4C．

1 3D．

π 3【答案】B

【解析】设正方形的边长为2a，则圆的半径为a，

πa2π?，故答案为B． 由几何概型的概率公式得P?2a?2a4

（2）线性规划类几何概型

例2-2：小明一家订购的晚报会在下午5:30~6:30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午

6:00~7:00之间的任何一个时间随机地开始晚餐．

①你认为晚报在晚餐开始之前被送到和晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大? ②晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？ 【答案】①见解析；②

7． 8【解析】建立如图所示的坐标系．

图中直线x?6，x?7，y?5.5，y?6.5围成一个正方形区域G， 该试验的所有结果与区域G内的点(x,y)一一对应， 由题意知，每次结果出现的可能性是相同的，是几何概型． ①作射线y?x(x?0)．晚报在晚餐前送达即y?x， 因此图中阴影部分表示事件A:“晚报在晚餐前送达”． 而G中空白部分则表示事件B:“晚报在晚餐开始后送到”． 由图知事件A发生的可能性大． ②易求G的面积为1，而g的面积为（3）利用积分求面积

例2-3：如图，矩形OABC的四个顶点依次为O(0,0)，A(,0)，B(,1)，C(0,1)，

77，由几何概型的概率公式可得P(A)?． 88π2π2

记线段OC、CB以及y?sinx(0?x?π)的图象围成的区域（图中阴影部分）为?，若向矩形OABC内2任意投一点M，则点M落在区域?内的概率为（ ）

A．

π?1 2B．2?π 2C．

2 πD．1?2 π【答案】D

π2【解析】阴影部分的面积是(1?sinx)dx?(x?cosx)|??0π20πππ?1，矩形的面积是?1?， 222π?122∴点M落在区域?内的概率?1?，故选D．

ππ2

三、体积类几何概型

例3：已知P，E，G，F都在球面C上，且P在△EFG所在平面外，PE?EF，PE?EG，

PE?2GF?2EG?4，?EGF?120?，在球面C内任取一点，则该点落在三棱锥P?EFG内的概率

为 ． 【答案】6 32π【解析】如图，在三角形EGF中，由已知可得EG?GF?2，?EGF?120?，可得EF?23， 设三角形EFG的外接圆的半径为r，由23?2r，可得r?2．

sin120?

再设△EGF的外心为G1，过G1作底面EGF的垂线G1O，且使G1O?则22为三棱锥P?EFG的外接球的半径， 则球的体积为V?

1PE?2，连接OE， 246421143π?(22)3?π，VP?EGF???2?2?sin120??4?， 333234363?则该点落在三棱锥P?EFG内的概率为． 32π642π3

对点增分集训

一、选择题

1．已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟．则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ） A．

1 10B．

1 9C．

1 11D．

1 8【答案】A

【解析】由于地铁列车每10分钟一班，列车在车站停1分钟， 乘客到达站台立即乘上车的概率为P?1，故选A． 102．下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载．若图中大正方形ABCD的边长为4，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷n个点，有m个点落在中间的圆内，由此可估计π的所似值为（ ）