苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义
考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 求双曲线的离心率
c2y2
解 设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得2－2＝1，
abb2
那么y＝±. a
由PF2＝QF2，∠PF2Q＝90°， 知PF1＝F1F2，
b2
所以＝2c，所以b2＝2ac，
a
c?2c
所以c2－2ac－a2＝0，所以?－2×－1＝0， ?a?a即e2－2e－1＝0，
所以e＝1＋2或e＝1－2(舍去)． 所以双曲线的离心率为1＋2.
反思与感悟 求双曲线离心率的三种方法 c
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
a(2)若已知a，b，可直接利用e＝
b?21＋??a?得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
x2y2
跟踪训练3 设双曲线2－2＝1(b＞a＞0)的焦距为2c，直线l过点A(a,0)，B(0，b)，已知
ab原点到直线l的距离为
3
c，则双曲线的离心率为________． 4
考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 求双曲线的离心率 答案 2
解析 如图所示，在△OAB中，
5
苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义
OA＝a，OB＝b，OE＝AB＝a2＋b2＝c.
3c， 4
因为AB·OE＝OA·OB， 3
所以c·c＝ab，
4即
32
(a＋b2)＝ab， 4
3?b?2b3
－＋＝0， 4?a?a4
两边同除以a2，得
bb3解得＝3或＝(舍去)．
aa3c所以e＝＝
a
a2＋b2＝a2b?21＋??a?＝2.
1．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是________． 答案 y＝±3x
x2y2
解析 双曲线方程可化为标准形式－＝1，∴a＝1，b＝3，∴双曲线的渐近线方程为y
13b
＝±x＝±3x.
a
x2y2
2．设P是双曲线2－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是
a9双曲线的左、右焦点，若PF1＝3，则PF2＝________. 答案 7
3
解析 双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
2b3
由题意得＝，
a2又b2＝9，∴a＝2，
由双曲线定义知，|PF1－PF2|＝2a＝4，∴PF2＝7.
3．若双曲线的实轴长与虚轴长之比为2，则双曲线的离心率e＝________. 答案
6 2
b261＋2＝. a2
2aa
解析 由题意得＝＝2，∴e＝2bb
6
苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义
x2y2
4．设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为
ab________． 2
答案 y＝±x
2
解析 由条件知2b＝2,2c＝23，
∴b＝1，c＝3，a2＝c2－b2＝2，即a＝2， x22
∴双曲线方程为－y＝1，
22
因此其渐近线方程为y＝±x.
2
5．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为________． x2y2
答案 －＝1
412
c
解析 依题意知，焦点在x轴上，c＝4，＝2，∴a＝2.
ax2y2
∴b＝c－a＝12.故双曲线的方程为－＝1.
412
2
2
2
1．双曲线离心率及其范围的求法：
(1)双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法．
(2)双曲线离心率范围的求解，涉及解析几何中“范围”问题的解法．在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；通过判别式Δ＞0；利用点在曲线内部形成的不等式关系；利用解析式的结构特点，如a，a，|a|等非负性．
2．求双曲线的标准方程，当焦点不明确时，方程可能有两种形式，为了避免讨论，也可设b双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)，从而直接求得；若已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，
ax2y2
还可以将方程设为2－2＝λ(λ≠0)避免焦点的讨论．
ab
7
苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义
一、填空题
y2
1．已知点(2,0)是双曲线x－2＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.
b
2
答案 3
解析 由题意知c＝2，a＝1，由c2＝a2＋b2， 得b2＝4－1＝3，所以b＝3.
y2
2．已知双曲线x－＝1(m>0)的离心率为2，则m的值为________．
m
2
答案 3
1＋mc
解析 由题意得，a2＝1，b2＝m，c＝1＋m，根据双曲线离心率e＝＝＝2，得m
a1＝3.
3
3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率为，则C的方程是________．
2x2y2
答案 －＝1
45
x2y2
解析 由题意可知c＝3，a＝2，b＝c－a＝3－2＝5，故双曲线的方程为－＝1.
45
22224．设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________． 答案
3＋1
2
解析 由题意2c＝AB＝BC， ∴AC＝2×2c×sin60°＝23c， 由双曲线的定义，
有2a＝AC－BC＝23c－2c?a＝(3－1)c， 1＋3c1∴e＝＝＝. a23－1
x2y2
5．已知双曲线－2＝1(b>0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为
4b________． 答案 23
8