苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义

2.3.2 双曲线的几何性质

学习目标 1.了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系．

知识点一 双曲线的性质

x2y2－＝1 a2b2(a>0，b>0) y2x2－＝1 a2b2(a>0，b>0) 标准方程 图形 范围 对称性 性质 顶点 渐近线 离心率 a，b，c间的关系

知识点二 等轴双曲线

思考 求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点． (1)x2－y2＝1；(2)4x2－4y2＝1.

答案 (1)的实半轴长为1，虚半轴长为1 11

(2)的实半轴长为，虚半轴长为.

22它们的实半轴长与虚半轴长相等．

x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) by＝±x a顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±x bce＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 ac2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 梳理 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为2.

1

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x2y2y2x2

1．双曲线2－2＝1与2－2＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(√)

ababx2y2y2x2

2．双曲线2－2＝1与2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×)

abab3．等轴双曲线的离心率为2.(√)

4．离心率是2的双曲线为等轴双曲线．(√)

类型一 双曲线的几何性质

例1 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．

x2y2

解 把方程nx－my＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，

mn

2

2

由此可知，实半轴长a＝m， 虚半轴长b＝n，c＝m＋n，

焦点坐标为(m＋n，0)，(－m＋n，0)， m＋nc

离心率e＝＝＝am

n

1＋， m

顶点坐标为(－m，0)，(m，0)， 所以渐近线方程为y＝±引申探究

将本例改为“求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答．

x2y2

解 将9y－4x＝－36变形为－＝1，

94

2

2

nmnx，即y＝±x.

mm

x2y2

即2－2＝1， 32

所以a＝3，b＝2，c＝13， 因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，

2

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c13b2

离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.

a3a3反思与感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．

(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．

跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

y2x2

解 把方程9y－16x＝144化为标准方程2－2＝1.

43

2

2

由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，

c＝a2＋b2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)， c54

离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.

a43类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线标准方程： 5

(1)虚轴长为12，离心率为；

4

3

(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；

2

(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程． 解 (1)设双曲线的标准方程为 x2y2y2x2

－＝1或2－2＝1(a＞0，b＞0)． a2b2abc5

由题意知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，

a4∴b＝6，c＝10，a＝8.

x2y2y2x2

∴所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

64366436b39

(2)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3，得b＝，

a22x24y2

∴所求双曲线的标准方程为－＝1.

981a3

当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，得b＝2.

b2y2x2

∴所求双曲线的标准方程为－＝1.

94

3

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x22x22

(3)设与双曲线－y＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y＝k(k≠0)，将点(2，－2)代入，

22得

22

k＝－(－2)2＝－2，

2

y2x2

∴双曲线的标准方程为－＝1.

24

反思与感悟 由双曲线的性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为 (1)判断：利用条件判断焦点的位置． (2)设：设出双曲线的标准方程．

(3)列：利用已知条件构造关于参数的方程． (4)求：解参数方程，进而得标准方程．

y2x2

跟踪训练2 (1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准

43方程；

x2y223

(2)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点

ab3的距离为3

，求此双曲线的标准方程． 2

y2x2

解 (1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．

4349

∵点M(3，－2)在双曲线上，∴－＝λ，即λ＝－2.

43x2y2

∴双曲线的标准方程为－＝1.

68a2＋b2423c23

(2)∵e＝，∴＝，∴2＝，

3a3a3∴a2＝3b2.①

又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0， ∴d＝

ab3

＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．② 222a＋b

解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1. x22

∴双曲线的标准方程为－y＝1.

3类型三 双曲线的离心率

x2y2

例3 已知F1，F2是双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴

ab的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．

4