2019年河南省郑州市高考数学一模试卷 下载本文

15.(5分)《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多,在“人生自有诗意”的主题下,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味,若《沁园春?长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐?六盘山排在后六场,且《蜀道难》排在《游子吟》的前面,《沁园春?长沙》与《清平乐?六盘山》不相邻且均不排在最后,则六场的排法有 144 种.(用数字作答). 【解答】解:《沁园春?长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐?六盘山》, 分别记为A,B,C,D,E,F,

由已知有B排在D的前面,A与F不相邻且不排在最后. 第一步:在B,C,D,E中选一个排在最后,共第二步:将剩余五个节目按A与F不相邻排序,共

=4(种)选法

=72(种)排法,

=2即可,

第三步:在前两步中B排在D的前面与后面机会相等,则B排在D的前面,只需除以即六场的排法有4×72÷2=144(种) 故答案为:144.

16.(5分)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰好经过原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:①函数y=f(x)是偶函数;②对任意的x∈R,都有f(x+2)=(x﹣2)③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递减;④函数y=f(x)的值域是[0,1];⑤f(x)dx=

.其中判断正确的序号是 ①②⑤ .

- 17 -

【解答】解:当﹣2≤x≤﹣1,P的轨迹是以A为圆心,半径为1的圆, 当﹣1≤x≤1时,P的轨迹是以B为圆心,半径为

的圆,

当1≤x≤2时,P的轨迹是以C为圆心,半径为1的圆, 当3≤x≤4时,P的轨迹是以A为圆心,半径为1的圆, ∴函数的周期是4. 因此最终构成图象如下:

①,根据图象的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,故①正确; ②,由图象即分析可知函数的周期是4.

即f(x+4)=f(x),即f(x+2)=f(x﹣2),故②正确; ③,函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递增, 故③错误;

④,由图象可得f(x)的值域为[0,⑤,根据积分的几何意义可知故⑤正确.

故答案为:①②⑤.

],故④错误;

)+×1×1+π×1=+

2

2

f(x)dx=π?(,

三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题,每个考生都必须作答第223题为选考题,考生根据要求作答本小题满分60分

17.(12分)已知数列{an}为等比数列,首项a1=4,数列{bn}满足bn=log2an,且b1+b2+b3=12. (I)求数列{an}的通项公式 (Ⅱ)令cn=

+an,求数列{cn}的前n项和Sn.

【解答】解:(I)数列{an}为等比数列,首项a1=4,公比设为q, 数列{bn}满足bn=log2an,且b1+b2+b3=12, 即有log2a1+log2a2+log2a3=12,

- 18 - log2(a1a2a3)=12,即a2=2, 即有a2=16,q=4, 则an=4;

(Ⅱ)bn=log2an=log24=2n, cn=

+an=

+4=﹣

n

n

n

3

12

+4,

n

前n项和Sn=(1﹣+﹣+…+﹣

)+(4+16+…+4)

n

=1﹣+

=+.

18.(12分)已知四棱锥中P﹣ABCD,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,E、M分别是BC、PD上的中点,直线EM与平面PAD所成角的正弦值为

,点F在PC上移动.

(Ⅰ)证明:无论点F在PC上如何移动,都有平面AEF⊥平面PAD. (Ⅱ)求点F恰为PC的中点时,二面角C﹣AF﹣E的余弦值.

【解答】证明:(Ⅰ)∵四棱锥中P﹣ABCD,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD, E、M分别是BC、PD上的中点, ∴AE⊥PA,AE⊥AD,

∵PA∩AD=A,∴AE⊥平面PAD, ∵点F在PC上移动,∴AE?平面AEF,

∴无论点F在PC上如何移动,都有平面AEF⊥平面PAD. 解:(Ⅱ)直线EM与平面PAD所成角的正弦值为

,点F恰为PC的中点时,

以A为原点,AE为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,

- 19 - 设AB=2,AP=x,则E(=(

,0,0),M(0,1,),

),平面PAD的法向量=(1,0,0),

∴|cos<>|===,

解得x=AP=2, C(

,1,0),A(0,0,0),P(0,0,2),E(

),

=(

),

=(

,0,0),F(

),

),

=(

设平面ACF的法向量=(x,y,z),

则,取x=1,得=(1,﹣,0),

设平面AEF的法向量=(x,y,z),

则,取y=2,得=(0,2,﹣1),

设二面角C﹣AF﹣E的平面角为θ, 则cosθ=

∴二面角C﹣AF﹣E的余弦值为.

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