华南农业大学期末考试试卷（A卷）

2007－08 学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换

考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟

学号 姓名 年级专业 题号 得分 评阅人 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括

号内。错选、多选或未选均无分。

1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ）

A. 1?2i B. ?1?2i C. 1?2i D. ?1?2i 2．下列等式中，不成立的等式是（ ）

一 二 三 四 五 六 七 八 总分 4A.?3?4i的主辐角为??arctan

3

B.arg(?3i)?arg(?i)

C.arg(?3?4i)2?2arg(?3?4i)

3．下列命题中，正确的是（ ） ．．A. z?1表示圆的内部 C. 0?argz?

2 D.z?z?|z|

B. Re(z)?0表示上半平面

D. Im(z)?0表示上半平面

?4表示角形区域

4．关于??limz?0z下列命题正确的是（ ） z?z

B. ?不存在 C.???1

D. ??1

A.??0

5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）

A.z?ez

B.sinz

C.tanz?ez D.sinz?ez 2z?1B. Lnz?2Lnz

2

6．在复平面上，下列命题中，正确的是（ ）．．

A. cosz是有界函数

z

C.eiz?cosz?isinz

D.z2?|z|

7．在下列复数中，使得e?3?i成立的是（ ）

A.z?ln2?2?i??i3

B.z?ln4?2?i??i3

C.z?ln2?2?i?

?6??2i? D.z?ln46?8．已知z?1?i，则下列正确的是（ ）

?i3A.z?2e12

9．积分

3B.z?2e63?i4

C.z?2e37?i12?i

D.z?2e3

64?|z|?3z?2dz的值为（ ）

B.2 C. 2?i

D. 4?i

A. 8?i

ez10．设C为正向圆周|z|?4, 则?dz等于（ ）

C(z??i)10A.

1 10!? B.

2?i 10! C.

2?i 9!? D.

?2?i 9!11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）

?3?2i?A.级数???是绝对收敛的

7?n?0?C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛

n

B.级数

?1?i???n?是收敛的 2n(n?1)n?2?? D.在收敛圆周上，条件收敛

ez12．z?0是函数的（ ）

z(1?cosz)A. 可去奇点 C.二级极点 13．

B.一级极点 D. 三级极点

1在点 z?? 处的留数为（ ）

z(z?2)

A. 0

B.1

C.

1 2

D. ?1 2ezdz14．设C为正向圆周|z|?1, 则积分 ?等于（ ）

csinzA．2π B．2πi C．0 D．－2π

15．已知F(?)?F[f(t)]，则下列命题正确的是（ ） A. F[f(t?2)]?e2j??F(?)

B. e2j??f(t)?F?1[F(??2)] ?f(t)]?F(??2)

C. F[f(2t)]?2F(2?) D. F[e2jt

二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16. 设z1?1?i,z2?1?3i，求??z1?z2???____________. ?17. 已知f(z)?(bx2?y2?x)?i(axy?y)在复平面上可导，则a?b?_________. 18. 设函数f(z)=

??z0tcostdt，则f(z)等于____________.

(?2)nnz的收敛半径为_______. 19. 幂极数?2nn?120. 设??z，则映射在z0?1?i处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数f(t)?t2sint，则f(t)的拉氏变换等于____________.

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C为从原点到3－4i的直线段，计算积分I?

3?[(x?y)?2xyi]dz

Cez?cosz. (1)求f(z)的解析区域，22. 设f(z)?2（2）求f?(z). z?i

24．已知u(x,y)?x2?y2?4x，求一解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，并使f(0)?3。

23. 将函数f(z)?1在点z?0处展开为洛朗级数.

(z?1)(z?2)

25. 计算

?|z?|dz3(z?12)z(?iz)?(.

4)

四、综合题（共4小题，每题8分，共32分） 25. 计算

26. 求分式线性映射??f(z)，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件f(2i)?0，

?2?01d?.

5?4co?sargf(0)?1.

??2,?27. 求函数f(t)??t,?0,?

?1?t?00?t?1的傅氏变换。 其它

28．用拉氏变换求解方程y?(t)?y(t)?et,其中y(0)?1.

复变函数与积分变换期末试卷答案

一、选择题

1．B. 2. C. 3. A 4. D 5. B 6. D 7. A 8. C 9.B 10.D 11.B 12.D 13.C 14.A 15.B

二、填空题 16．z?cos?6?isin?6, 17. 1, 18. 3(zez?ez?1),

19. 1, 20.

?1?3?(3?1)i 4

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C为从原点到2＋3i的直线段，计算积分I??[(x?2y)?ixy]dz

C解：设曲线C的参数方程为C:z?(2?3i)t0?t?1.

I??[(x?2y)?ixy]dz??(2t?6t?6t2i)(2?3i)dt

C01??(?4t?6t2i)(2?3i)dt?(2?3i)(?2t2?2t3i)|10

01??10?2i.

ez?cosz. (1)求f(z)的解析区域，22. 设f(z)?（2）求f?(z). 4?z22解：(1)由方程 4?z?0得z??2，故f(z)的解析区域为C\\{2,?2}.

ez(4?z2?2z)(2)f?(z)??sinz.

(4?z2)2

23. 将函数f(z)?1在点z?0处展开为泰勒级数.

(z?1)(z?2)解：f(z)?111?11 ????(z?1)(z?2)(z?2)(1?z)2(1?z)(1?z)2n???1??z??zn?nn|1. ??????z??n?1??z |z?2n?0?2?n?0n?02n?0

1z?124. 将函数f(z)?e在圆环0?|z?1|??内展开成洛朗级数. 2(z?1)11zn解：e的泰勒展式为e??，故ez?1的罗朗展式为ez?1n?0n!zz??1????z?1??， ??n!n?0n?1?????e11z?1??所以f(z)???. ?22?n?2(z?1)(z?1)n?0n!n?0n!(z?1)1z?1n

四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）

25．已知u(z,y)?x2?y2?2x，求一解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，并使f(0)?2i。 解：由柯西－黎曼方程得

x?v?u???2y, 所以v(x,y)??2ydx?C(y)?2xy?C(y).

0?x?yy?v?u?2x?C?(y)??2x?2,所以C(y)??C?(y)dx?C?2y?C.

0?y?x所以v(x,y)?2xy?2y?C.

从而f(z)?x?y?2x?(2xy?2y?C).i

2i所以C?2. 所以f(z)?x2?y?2x?(2xy?2y?2).又f(0)?Ci?2.i

26. 计算

?|z?|dz2(z?12)z(?1z)?(.

3)解：由柯西积分定理得

原式??|z?1|?1211(z?1)(z?3)(z?1)2(z?3)dz??1dz 2|z?1|?(z?1)(z?1)2

???1???(z?1)(z?3)???z?11 2(z?1)(z?3)z??1?

2?2z(z?1)2(z?3)2?z?111?. 1616?1?t?00?t?1的傅氏变换。 其它01?10??1,?27. 求函数f(t)??1,?0,?解：F(?)??????f(t)e?i?tdt???e?i?tdt??e?i?tdt

0e?i?t?i??

e?i?t??i??1101?ei?e?i??1??

i?i?24cos??. i??28．求函数 f(t)?cos3t 的拉氏变换

??????解：F(s)??0f(t)edt??e0?st?stcos3tdt??e0?ste3it?e?3itdt 21??(3i?s)t1??(?3i?s)t??edt??edt 20201?11?s????. ?22?s?3is?3i?s?9