江苏省徐州市2015年中考数学试卷(解析版) 下载本文

(2)求抛物线的函数表达式.

(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点,以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S,则S取何值时,相应的点P有且只有3个?

考点:二次函数综合题.

分析:(1)利用圆周角定理,直径所对的圆周角等于90° ,即可得出答案;

(2)利用(1)中的结论易得OB是的垂直平分线,易得点B,点C的坐标,由点O,点B的坐标易得OB所在直线的解析式,从而得出点E的坐标,用待定系数法得抛物线的解析式;

(3)利用(2)的结论易得点P的坐标,分类讨论①若点P在CD的左侧,延长OP交CD于Q,如右图2,易得OP所在直线的函数关系式,表示出Q点的纵坐标, 得QE的长,表示出四边形POAE的面积;②若点P在CD的右侧,延长AP交CD于Q,如右图3,易得AP所在直线的解析式,从而求得Q点的纵坐标,得QE求得四边形POAE的面积,当P在CD右侧时,四边形POAE的面积最大值为16,此时点P的位置就一个,令解答:解: (1)∵OA是⊙O的直径,

∴∠OBA=90°, 故答案为:90;

(2)连接OC,如图1所示, ∵由(1)知OB⊥AC,又AB=BC,

=16,解得p,得出结论.

∴OB是的垂直平分线, ∴OC=OA=10,

在Rt△OCD中,OC=10,CD=8, ∴OD=6,

∴C(6,8),B(8,4)

∴OB所在直线的函数关系为y=x, 又∵E点的横坐标为6, ∴E点纵坐标为3, 即E(6,3),

抛物线过O(0,0),E(6,3),A(10,0),

∴设此抛物线的函数关系式为y=ax(x﹣10),把E点坐标代入得: 3=6a(6﹣10), 解得a=﹣.

∴此抛物线的函数关系式为y=﹣x(x﹣10),即y=﹣x+x; (3)设点P(p,﹣p+p),

①若点P在CD的左侧,延长OP交CD于Q,如右图2, OP所在直线函数关系式为:y=(﹣p+)x ∴当x=6时,y=∴QE=S四边形POAE =S△OAE+S△OPE =S△OAE+S△OQE﹣S△PQE =?OA?DE+QE?OD﹣?QE?Px?

﹣3=

,即Q点纵坐标为

2

2

=×10×3+×(﹣p+)×6﹣?(=

)?(6﹣p),

②若点P在CD的右侧,延长AP交CD于Q,如右图3, P(p,﹣p+p),A(10,0)

∴设AP所在直线方程为:y=kx+b,把P和A坐标代入得,

2

解得.

∴AP所在直线方程为:y=∴当x=6时,y=∴QE=P﹣3, ∴S四边形POAE =S△OAE+S△APE =S△OAE+S△AQE﹣S△PQE

?6+

x+,

=P,即Q点纵坐标为P,

=?OA?DE+?QE?DA﹣?QE?(Px﹣6) =×10×3+?QE?(DA﹣Px+6) =15+?(p﹣3)?(10﹣p) ==

∴当P在CD右侧时,四边形POAE的面积最大值为16,此时点P的位置就一个, 令

=16,解得,p=3±

∴当P在CD左侧时,四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个, 综上所知,以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时,相应的点P有且只有3个.

点评:本题主要考查了圆周角定理及二次函数的相关问题, 解决这类问题关键是善于将函数

问题转化为方程问题,然后数形结合解决问题.

http://www.czsx.com.cn