（2）求抛物线的函数表达式．

（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？

考点：二次函数综合题．

分析：（1）利用圆周角定理，直径所对的圆周角等于90° ，即可得出答案；

（2）利用（1）中的结论易得OB是的垂直平分线，易得点B，点C的坐标，由点O，点B的坐标易得OB所在直线的解析式，从而得出点E的坐标，用待定系数法得抛物线的解析式；

（3）利用（2）的结论易得点P的坐标，分类讨论①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2，易得OP所在直线的函数关系式，表示出Q点的纵坐标， 得QE的长，表示出四边形POAE的面积；②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如右图3，易得AP所在直线的解析式，从而求得Q点的纵坐标，得QE求得四边形POAE的面积，当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，令解答：解： （1）∵OA是⊙O的直径，

∴∠OBA=90°， 故答案为：90；

（2）连接OC，如图1所示， ∵由（1）知OB⊥AC，又AB=BC，

=16，解得p，得出结论．

∴OB是的垂直平分线， ∴OC=OA=10，

在Rt△OCD中，OC=10，CD=8， ∴OD=6，

∴C（6，8），B（8，4）

∴OB所在直线的函数关系为y=x， 又∵E点的横坐标为6， ∴E点纵坐标为3， 即E（6，3），

抛物线过O（0，0），E（6，3），A（10，0），

∴设此抛物线的函数关系式为y=ax（x﹣10），把E点坐标代入得： 3=6a（6﹣10）， 解得a=﹣．

∴此抛物线的函数关系式为y=﹣x（x﹣10），即y=﹣x+x； （3）设点P（p，﹣p+p），

①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2， OP所在直线函数关系式为：y=（﹣p+）x ∴当x=6时，y=∴QE=S四边形POAE =S△OAE+S△OPE =S△OAE+S△OQE﹣S△PQE =?OA?DE+QE?OD﹣?QE?Px?

﹣3=

，即Q点纵坐标为

，

，

2

2

=×10×3+×（﹣p+）×6﹣?（=

）?（6﹣p），

②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如右图3， P（p，﹣p+p），A（10，0）

∴设AP所在直线方程为：y=kx+b，把P和A坐标代入得，

，

2

解得．

∴AP所在直线方程为：y=∴当x=6时，y=∴QE=P﹣3， ∴S四边形POAE =S△OAE+S△APE =S△OAE+S△AQE﹣S△PQE

?6+

x+，

=P，即Q点纵坐标为P，

=?OA?DE+?QE?DA﹣?QE?（Px﹣6） =×10×3+?QE?（DA﹣Px+6） =15+?（p﹣3）?（10﹣p） ==

，

∴当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个， 令

=16，解得，p=3±

，

∴当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个， 综上所知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．

点评：本题主要考查了圆周角定理及二次函数的相关问题， 解决这类问题关键是善于将函数

问题转化为方程问题，然后数形结合解决问题．

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