实验三 利用MATLAB进行时域分析

一、实验目的

(1) 学会使用MATLAB编程绘制控制系统的单位阶跃响应曲线；

(2) 研究二阶控制系统中，?、?n对系统动态特性和时域指标的影响； (3) 掌握准确读取动态特性指标的方法；

(4) 分析二阶系统闭环极点和闭环零点对系统动态性能的影响；

(5) 研究三阶系统单位阶跃响应及其动态性能指标与其闭环极点的关系； (6) 研究闭环极点和闭环零点对高阶系统动态性能的影响； (7) 了解高阶系统中主导极点与偶极子的作用；

(8) 了解系统阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应输出曲线之间的联系与差别。 二、实验原理及内容

1. 求系统的特征根

若已知系统的特征多项式D (s)，利用roots ( ) 函数可以求其特征根。若已知系统的传递函数，利用eig ( ) 函数可以直接求出系统的特征根。 2、求系统的闭环根、?和ωn

函数damp ( ) 可以计算出系统的闭环根、?和?n。 3、零极点分布图

可利用pzmap()函数绘制连续系统的零、极点图，从而分析系统的稳定性，调用格式为： pzmap(num,den)

5、求阶跃响应的性能指标

MATLAB提供了强大的绘图计算功能，可以用多种方法求取系统的动态响应指标。首先介绍一种最简单的方法――游动鼠标法。对于例2，在程序运行完毕后，在曲线中空白区域，单击鼠标右键，在快捷菜单中选择”characteristics”，包含：Peak response (峰值)； settling time (调节时间)；Rise time(上升时间)；steady state(稳态值)；在相应位置出现相应点，用鼠标单击后，相应性能值就显示出来。用鼠标左键点击时域响应曲线任意一点，系统会自动跳出一个小方框，小方框显示了这一点的横坐标（时间）和纵坐标（幅值）。这种方法简单易用，但同时应注意它不适用于用plot()命令画出的图形。 【自我实践1】若已知单位负反馈前向通道的传递函数为：G(s)?阶跃响应曲线，准确读出其动态性能指标，并记录数据。 解：

响应 动态性能 峰值：1.44 调节时间:1.41 上升时间：0.127 稳态值：1 超调量：44.3% 100s?5s2，试作出其单位

6、分析ωn不变时，改变阻尼比?，观察闭环极点的变化及其阶跃响应的变化。

【自我实践2】二阶系统，ωn=10，当?＝0，0.25，0.5，0.75，1，1.25时，求对应系统的闭环极点、自然振荡频率及阶跃响应曲线；并分析?对系统性能的影响。 解：

num=100;i=2,

for sigma=0:0.25:1.25,

den=[1 2*sigma*10 100], damp(den)

sys=tf(num,den); i=i+1;

step(sys,2) hold on, end

grid on hold off

title('2?í?×è?á?×???ìó|')

lab1='E=0';text(0.3,1.9,lab1), lab2='E=0.25';text(0.3,1.5,lab2), lab3='E=0.5';text(0.3,1.2,lab3), lab4='E=0.75';text(0.3,1.05,lab4), lab5='E=1';text(0.35,0.9,lab5), lab6='E=1.25';text(0.35,0.8,lab6),

阶跃响应曲线： 性能分析 ωn不变时，改变阻尼比 时，系统过阻尼，系统的阶跃响应为非震荡过程，瞬态特性为单调变化曲线，无超调；当 时，系统欠阻尼，阶跃响应为震荡过程，阻尼越小，超调越大，振荡次数越多，调节时间越长；‘ =1’时为临界阻尼状态，刚好不震荡；当 时，系统为零阻尼系统，系统阶跃响应为等幅振荡。当 ，推测曲线做发散震荡 7、保持?＝0.25不变，分析ωn变化时，闭环极点对系统单位阶跃响应的影响。

【自我实践3】二阶系统，?＝0.25，当ωn=10，30，50时，求系统的阶跃响应曲线；并分析ωn对系统性能的影响。 解： 程序：

sigma=0.25;i=0, for wn=5:5:20;

num=wn^2, den=[1 2*sigma*wn wn^2],

sys=tf(num,den); i=i+1;

step(sys,2) hold on,grid end

hold off

title('wn±??ˉê±?×???ìó|')

阶跃响应曲线： 性能分析 当阻尼不变时，wn越大，峰值时间越短，调节时间时间越短，上升时间越短，超调不变。 【综合实践】通过分别改变典型二阶系统的ξ和ωn，观察系统在脉冲、阶跃作用下的响应特性，求时域指标，总结参数对系统性能影响的规律。

ξ ωn ts tp σ% tr 响应曲线 0.2 78.2 3.83 ξ>1（ξ=2） 1 15.6 0.756 0.2 46.6 5.99 0<ξ<1 （ξ=0.5） 脉冲 1 9.29 1.2 0.2 ξ=0 1 -1<ξ<0 ξ=-0.5 0.2 1 0.2 ξ<-1 （ξ=-2） 1 0.2 74.4 41.2 ξ>1（ξ=2） 1 14.9 8.23 阶跃 0.2 40.4 18 16.3 8.2 0<ξ<1 （ξ=0.5） 1 8.08 3.6 16.3 1.64 0.2 ξ=0 1 0.2 -1<ξ<0 1 0.2 ξ<-1 1 参数影响说明：

当ξ>1时，系统为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非震荡过程，表现为单调变化曲线，无超调

和震荡；当0<ξ<1时，系统是欠阻尼系统，系统的阶跃响应为震荡过程，ξ越小，振荡次数越多，超调越大，调节时间越长；当ξ=0时，系统为零阻尼系统，系统的阶跃响应为持续等幅振荡过程；ξ<0时，系统响应为发散震荡。

当ξ不变时，wn值越大，峰值时间越短，调节时间越短，上升时间越短，但是超调量不变。

8、分析系统零、极点对系统阶跃响应的影响。

【自我实践4】试作出以下系统的阶跃响应，并与原系统G(s)线进行比较，作出实验结果分析。 解：G(s)?10s2?10s2的阶跃响应曲

?2s?10的阶跃响应：

?2s?10

1） 系统有零点情况：z=-5，即

G1(s)?2s?s210；

性能分析 增加零点，阶跃上升的时间变短了，峰值时间、调节时间都有变短，超调量变 大了，但是系统的稳态值不变。 ?2s?10阶跃响应曲线： 2) 分子与分母多项式阶数相等：n=m=2，

阶跃响应曲线： G2(s)?s2?0.5s?102； 性能分析 s?2s?10从稳态开始震荡，峰值时间、调节时间都有减小，超调变小，但是稳态值不变。 3) 分子多项式零次项系数为0，

G3(s)?ss22?0.5s；

性能分析 ?2s?10阶跃响应曲线： 对该系统，零时刻对应的纵坐标不为零，起始时刻不为零，稳态值也下降好多 4) 原系统的微分响应，微分系数为1/10，G阶跃响应曲线： 4(s)?ss2。

性能分析 ?2s?10零点中含有零时，稳态值为0，没有零时，稳态值为1 【综合实践】附加零点的影响。

设原系统为： 响应曲线：

R(s) - W0(s) Y(s) 图3-4 原系统结构图

附加开环零点的情况： 附加闭环零点的情况为：

R(s) - P(s) W0(sY(s) R(s) P(s) —W0(s) Y(s) 图3-5 附加开环零点的系统结构图 图3-6 附加闭环零点的系统结构图

其中 P(S)=(TS+1)、W0(s)??ns22。 这里取ωn=1、ξ=0.5

n?2??s 零点参数 闭环传递函数 单位阶跃响应曲线 说明零点的影响 T=0.2 增加系统零点会使系统更加稳定，但是会使得调节时间变长。系统内零点并不改变系统的稳定性，但是会影响系统动态参数。零点越大（距离虚轴越近），上升时间和峰值时间越短，调节时间略有变长，超调量越大，但是稳态值不变。 附加开环零点 T=1 T=0.2 附加闭环零点 T=1 【综合实践】附加极点的影响。 当附加零点中的函数变为：P(S)=1/(TS+1)，则上图3-4、3-5、3-6成为附加极点的情况。假设取ωn=1、ξ=0.5，用单位阶跃作为输入，按下表的要求输入参数，记录仿真曲线于下表。

极点参数 闭环传递函数 响应曲线 说明极点的影响 T=0.2 附加开环极点 T=1 T=0.2 附加闭环极点 T=1 增加极点，系统响应曲线都为震荡曲线，稳定性没有变化，但是引入极点越靠近虚轴，会使得上升时间，峰值时间越长，超调变的越大，对改善系统的稳定性不利。 9、三阶系统的单位阶跃响应分析 研究三阶系统单位阶跃响应及其动态性能指标与其闭环极点的关系。 【自我实践5】已知三阶系统闭环传递函数为

?(s)?5(s?2)(s?3)(s?4)(s2，

?2s?2)① 编写MATLAB程序，求取系统闭环极点及其单位阶跃响应，读取动态性能指标。 代码：

num=[5 25 30]; figure(2) den=[1 6 10 8]; step(num,den) figure(1) title('Pole-Zero Map'), pzmap(num,den) 极点分布 阶跃响应 极点：-1+1j,-1-1j,-4 上升时间：1.03，超调：7.28%， 调节时间：3.64，峰值时间：2.21 ?0.625(s?2)(s?3)(s?0.5)(s2 ② 改变系统闭环极点的位置， ?(s)，即将原极点s = - 4改成s= - 0.5，

?2s?2)使闭环极点靠近虚轴，观察单位阶跃响应和动态性能指标变化。

阶跃响应 性能分析 使极点靠近虚轴，系统的稳定性变好，但是上升时间、调节时间都变长，超调变小，最后的稳态值基本不变，极点与虚轴的相对位置会影响系统的稳定性 ③ 改变系统闭环零点的位置，

?(s)?10(s?1)(s?3)(s?4)(s2，即将原零点s = - 2改成s = - 1，

?2s?2)观察单位阶跃响应及其动态性能指标的变化。 阶跃响应 性能分析 使得零点变大，即靠近虚轴时，系统的动态性能：调节时间、上升时间，峰值时间都减小、但是会使得超调量变大，稳态值必变。 ④ 分析上面实验，给出结论。

结论：如果系统的闭环极点距离虚轴远，则瞬态分量衰减得快，调节时间短；闭环极点接近

虚轴时，阻尼增加，超调减小，调节时间变长。闭环零点减小后，相当于减小了阻尼，峰值时间、调节时间减小，超调量增大。以上为一般性结论。 10、高阶系统的单位阶跃响应分析

【自我实践6】已知控制系统的闭环传递函数

1.05(0.4762s?1)?1(s)?(0.125s?1)(0.5s?1)(s2?s?1)① 用MATLAB软件分析该系统的单位阶跃响应及其动态性能指标。 阶跃响应 性能指标 上升时间：1.68 超调：15.9% 调节时间：8.2， 峰值时间：3.78 稳态值：1.05 ② 将该系统的阶跃响应与二阶系统?导极点的特点及作用， 响应比较 主导极点特点作用 距离虚轴最近的极点（主导极点）决定的响应分量随时间推移衰减缓慢，在系统的响应过程中起主导作用，而其他的闭环极点响应分量随时间迅速衰减，对系统的响应影响甚微。 2(s)?1.05s2的单位阶跃响应比较分析闭环系统主

?s?1 ③ 比较系统

?3(s)?1.05(0.125s?1)(0.5s?1)(s2和??s?1)4(s)?1.05(s?1)(0.125s?1)(0.5s?1)(s?s?1)2的单

位阶跃响应及其动态性能指标，观察闭环零点对系统动态性能产生的影响有哪些？

单位阶跃响应 闭环零点影响 减小峰值时间，使响应速度加快，超调增大，零点会减小系统的阻尼，随着零点与虚轴距离减小这种作用会 越来越强。

④ 比较系统?1(s)和?5(s)?1.05(0.4762s?1)(0.5s?1)(s2的单位阶跃响应及其动态性能指标，分

?s?1)析非主导极点对系统动态性能的影响及作用。 阶跃响应比较 非主导极点作用 增大峰值时间，响应速度变缓慢，超调减小。闭环非主导极点可以增大系统阻尼，该极点与虚轴越近，作用越明显。 ⑤ 比较系统?2(s)和?5(s)的单位阶跃响应及其动态性能指标，分析偶极子对系统动态性能的影响及作用。

响应比较 偶极子影响 偶极子远离虚轴，对系统作用的影响可忽略，靠近虚轴时，作用不可忽略。