北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学 （理）

2019．3

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、

第一部分（选择题 共40分）

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，

选出符合题目要求的一项．

1．已知集合A?{x|x?1}，集合B?{x|x2?4}，则AIB?

A．{x|x??2} B．{x|1?x?2} C．{x|1?x?2} D．R 2．在复平面内，复数z?1?2i对应的点位于 i A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．(?x)4的展开式中的常数项为

A．?12 B．?6 C．6 D． 12

1x?2x,x?1,4．若函数f(x)?? 则函数f(x)的值域是

??log2x,x?1,A．(??,2) B．(??,2] C．[0,??) D．(??,0)U(0,2) 5．如图，函数f(x)的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则f(x)的解析式可以是

A．f(x)?sin(2x?) B．f(x)?sin(4x?) C．f(x)?cos(2x?) D．f(x)?cos(4x?)

?3?6?3?6

?y?0,?6．记不等式组?y?x?3,所表示的平面区域为D．“点(?1,1)?D”是“k??1”的

?y?kx?A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为 A．4

B．2 C． D．

俯视图 83正（主）视图 侧（左）视图 438．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是

A．5 B．6 C．7 D．8

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

x29．双曲线?y2?1的右焦点到其一条渐近线的距离是 ．

410．执行如图所示的程序框图，则输出的x值为 ．

11．在极坐标系中，直线?cos??1与圆??4cos?相交于A,B两点，则AB?___． 12．能说明“函数f(x)的图象在区间?0,2?上是一条连续不断的曲线．若f(0)?f(2)?0，则f(x)在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 ．

13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环

起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．

uuuruuuuruuuruuur14．在平面内，点A是定点，动点B,C满足|AB|?|AC|?1，AB?AC?0，则集合uuuruuuruuur{P|AP=?AB+AC,1???2}所表示的区域的面积是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）

在△ABC中，a?21，?A?120?，△ABC的面积等于3，且b?c． （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）求cos2B的值． 16．（本小题满分13分）

某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),L,[35,40]分组，制成频率分布直方图：

频率/组距0.0480.0400.0360.0520.0480.0360.0280.0160.0120.008510152025303540乘车等待时间（分钟）频率/组距0.012O甲站O5101520253035乙站40乘车等待时间（分钟）

假设乘客乘车等待时间相互独立．

（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B.用频率估计概率，求“乘客A,B乘车等待时间都小于20分钟”的概率；

（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望.

17．（本小题满分14分）

如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF?平面ABCD．四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD//BC，?BAD?90?，AB?AD?1，BC?3． （Ⅰ）求证：AF?CD；

（Ⅱ）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段BD上是否存在点M，使得直线CE//平面AFM? 若存在，求不存在，请说明理由． 18．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?ln(ax) (a?R且a?0). xBM的值；若BD（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）当a??1时，求证：f(x)?x?1； （Ⅲ）讨论函数f(x)的极值． 19．（本小题满分14分）

x2已知点M(x0,y0)为椭圆C:?y2?1上任意一点，直线l:x0x?2y0y?2与圆

2(x?1)2?y2?6交于A,B两点，点F为椭圆C的左焦点．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标； （Ⅱ）求证：直线l与椭圆C相切；

（Ⅲ）判断?AFB是否为定值，并说明理由． 20．（本小题满分13分）

在无穷数列{an}中，a1,a2是给定的正整数，an?2?an?1?an，n?N*．

（Ⅰ）若a1?3,a2?1，写出a9,a10,a100的值； （Ⅱ）证明：数列{an}中存在值为0的项；

（Ⅲ）证明：若a1,a2互质，则数列{an}中必有无穷多项为1．