8.3 实际问题与二元一次方程组

一、背景分析

首先是学习任务分析.

本节课选自人教版七年级下册第八章第三节《实际问题与二元一次方程组》第一课时的内容. 是在前面已经学习过列二元一次方程组解实际问题的基础上，进一步以“探究”的形式讨论贴近我们生活的问题.它既是前面所学知识的延伸，也是后面学习内容的重要预备知识.

接下来是学生情况分析.根据教材和教学情况，本课是在学生掌握了二元一次方程组解法且初步经历了列二元一次方程组解应用题的基础上开展的.受阅读能力，分析能力的制约，如何从实际背景中提取数学信息，并转化成数学语言，对七年级学生来说是个难点.本节课涉及的实际问题都含有两个未知数，包含两个等量关系，需要列出两个二元一次方程.数量关系比一元问题复杂，需要学生更好地分析问题，抓住关键词，发现等量关系，列出方程组. 二、教学目标

基于以上分析，我从以下几个方面制定了本节课的教学目标： 1.知识技能

首先是知识技能方面：

能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，从而得到实际问题的答案；

2.过程与方法 过程与方法方面：

经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.

3.情感与态度 情感与态度方面:

在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，体会数学文化的发展和延续性，提高学习数学的兴趣；通过“自主探究”与“合作交流”，培养学生勤于思考，勇于探索的

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精神和合作精神.

本课的实际问题比前面更加贴近现实，分析解决的难度也有所加大，根据学生的实际情况，我确定了本节课的

教学重点是：探究用二元一次方程组解决实际问题的过程.

教学难点是：发现问题中隐含的未知数，寻找等量关系，列出方程组，并由方程组的解解释实际问题.

三、教法学法

接下来是教法与学法的设计环节：

本节课我采用的是启发式教学法，利用生动的多媒体画面辅助故事情节来调动学生的学习热情，激发学生的学习兴趣，通过分析讨论，讲练结合，优化课堂教学.

众所周知，从古至今，数学都是我们解决实际问题很有力的工具，而方程的出现更为我们解决生活难题提供了帮助.如何将看似枯燥，无用的数学方程问题真正的转化为有趣、实用的解决问题的工具，是我们一直以来思考的问题.根据《新课标》要求，本节课是需要学生自主探究完成的，为了增加课堂的趣味性，帮助学生更好地掌握做题的方法，提高独立解决问题的能力，我对教材的内容进行了重新整理编排，同时，融入了数学史中有关方程的知识，通过数学史的融入，让学生了解数学的价值，知道数学与现实生活的密切联系，使数学课堂生动起来并更具亲和力，同时也激发了学生的好奇心和求知欲.在教法设计上我采用了递进式教学，这样处理的目的是为了学生更好的掌握解决问题的方法，从而达到能够自主探究、独立完成问题的目的.下面，我就从以下的六个环节介绍一下我的教学过程：

四、教学过程

（一）创设情境 导入新课

在这节课的开始，我通过让学生猜测老师年龄的方式，提出了一个与方程组有关的数学问题，学生们通过快速的解答，找到了确切的答案，在解答过程中，我们发现：如果实际问题中遇到有两个未知量的问题时，我们可以采用二元一次方程组的知识去解答，这样的导入既提高了学生学习的兴趣，又引出了本节课的课题.

（课件）算一算：取我年龄的一半，加上你们中间某位同学的年龄，正好是28岁，如果时光能倒流2年，那么，我的年龄就是当时这位同学年龄的3倍，请问：我的年龄是多少？ 【设计意图】通过猜老师的年龄提出与方程组有关的数学问题：如果实际生活中遇到有两

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个未知量的问题时，我们可以采用二元一次方程组的知识去解答，这样既提高了学生的兴趣，又引出了本节课的课题. （二） 探索新知 解决问题

说起方程组，人们对它的研究最早能追溯到两千多年前，而我国就是研究二元一次方程组最早的国家之一.早在公元1世纪，有一本数学著作《九章算术》横空问世，它是世界上最早对“方程组”的解法有比较完整论述的一本古代数学名著，到了公元3世纪，这本书由数学家刘徽做注释，其中，又对“方程组”一词做了更加明确的解释，这比西方对“方程组”理论的研究早了整整14个世纪.

（课件出示《九章算术》与刘徽）

《九章算术》是古代人民智慧的结晶，它里面收录的许多数学问题都是世界上记载最早的.在这一教学环节，我就引入了这样一道记载于唐朝时期的一个考试题目: （课件出示题目和录音）

故事听完了，问题也随之而来。能解出前人也曾苦思冥想过的问题应该是一件很有趣的事情.

学生通过探究得出了等量关系，接下来，我请学生先独立思考，有了思路后，由一位学生和老师共同完成解答过程.通过这个问题的解答，我们总结出了利用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： 审、设、列、解、答.

【设计意图】到此，探究新知部分结束.在这一环节，我没有直接引入教材中的“自主探究”，而是向学生们引入了“方程组”的历史渊源，了解到我国是研究方程组最早的国家之一，数学史的发展存在历史相似性，在古代，正是有了一些像“鸡兔同笼”问题的出现才有了多元方程组的发展，在这里，通过解决一道古代知府抓贼问题进而进行解题总结，由具体到一般，使学生意识到当遇到一些含有两个未知数的问题时，二元比一元能给我们带来更多解决上的便利和分析的明了.同时，通过第一个问题的解决，提高了学生的总结能力，让学生感受到了数学的实用性和延续性，激发了学生对接下来学习的兴趣,有助于教学难点的突破.

（三）巩固新知 拓展提升

方程组的出现，为我们提供了一种解决问题的方法，那么这一方法能为接下来的问题带来帮助吗？

通过这句话，把学生带入了课堂教学的第三个环节： 巩固新知，拓展提升

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（课件）布庄老板想为官差们做些衣服以表感谢，已知每匹布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，现在他拿出22匹这种布料来缝制这批衣服（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

学生认真分析题意并找出解决问题的等量关系，经过讨论交流后，同学们认真完成解答过程，接着，由学生代表上台板书过程并分析每一个方程所代表的等量关系.

【设计意图】在这一环节，我请学生利用第一个问题总结出的方法，解决接下来布庄老板的问题，题目设置紧凑有趣，难度也有所增加，而在这里，老师有意的做放手处理，利用一些小问题引导着学生自己分析题意，由于有了第一个问题方法的铺垫，学生在解决这个问题的时候有“法”可依，在巩固方法的基础上锻炼了自己独立解决实际问题的能力. 接下来，就是课堂教学的第四个环节： （四）应用所学 自主探究

方程组的出现，让古代的许多数学问题得以很快很好的解决，那么这一方法对于我们现代问题适用吗?

随着学习的进一步深入和学生对方程组解决实际问题方法的熟练掌握，我出示了教材的“自主探究”

（课件）养牛场原有30只母牛和15只小牛，1天约需用饲料675kg；一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时1天约需用饲料940kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需饲料18～20kg，每只小牛1天约需要饲料7～8kg.你能否通过计算检验他的估计？ 在探究中注意思考这样两个问题：

1.要想判断李大叔的估计是否正确，我们得知道什么量？有关于这些量的线索吗？ 2.这个问题的等量关系都有哪些？

学生自主探究并独立完成，完成后相互交流.

【设计意图】由于有了前面问题方法的铺垫，学生完成起来更加得心应手，同时也深刻体会到了二元一次方程组在解决有两个未知量的问题时的方便和明了性。此时老师是彻底放手让学生自己独立完成探究过程的，这样处理的目的是让学生通过解决问题巩固利用二元一次方程组解决实际问题的方法，从而也使学生体会到能够独立解决问题的快乐. （五）反思交流 收获方法

到这里，本节课的探究学习已接近尾声，接下来，就是反思交流、收获方法的时刻了.师生之间相互交流学习心得和体会，这样的互动，增进了师生之间的距离，培养了学生归纳

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