又∵∠PCM=∠NCO，∴△CPM∽△05O. ∴

PECM6?x. ??NFCO6∴

S1x?6?x?112????x?3?? S218182S11?． S22∵0＜x＜6，∴根据二次函数的图象可知， 0<【考点】相似形综合题；单动点问题；定值问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；二次函数的性质；平行四边形的判定和性质；菱形的性质.

【分析】（1）作辅助性线，过点P作PE⊥OA于E，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到OMPQ为平行四边形，利用平行四边形的对边相等，对角相等得到PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，进而求出PE与ME的长，得到CE的长，求出tan∠PCE的值，利用特殊角的三角函数值求出∠PCE的度数，得到PM于NC垂直，而PM与ON平行，即可得到05与OB垂直.

（2）①

11的值不发生变化，理由如下：设OM=x，ON=y，根据OMPQ为菱形，得到?OMONPM=PQ=OQ=x，QN=y﹣x，根据平行得到△NQP与△NOC相似，由相似得比例即可确定出所求式子的值.

②作辅助性线，过点P作PE⊥OA于点E，过点N作NF⊥OA于点F，表示出菱形OMPQ的面

积为S1，△NOC的面积为S2，得到

S1，由PM与OB平行，得到△CPM与△05O相似，由相似得比例求出S2所求式子

S1的范围即可． S29. （2019年江苏徐州8分）如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限. 其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm （1）若OB=6cm． ①求点C的坐标；

②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离； （2）点C与点O的距离的最大值= ▲ cm.

【答案】解：（1）①如答图1，过点C作y轴的垂线，垂足为D，

在Rt△ABC中，AB=12，∠BAC=30°，∴BC=6. 在Rt△AOB中，AB=12， OB=6， ∴∠BAO=30°，∠ABO=60°.

又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°. ∴BD=3，CD=33．∴OD=9. ∴点C的坐标为?33, 9.

②如答图2，设点A向右滑动的距离AA'?x， 根据题意得点B向动的距离BB'?x.

∵在Rt△AOB中，AB=12， OB=6，∴AO?63. ∴A'O?63?x, B'O?6?x, A'B'?AB?12. 在△A'O B'中，由勾股定理得，63?x解得，x1?63?6, x2?0（舍去）. ∴滑动的距离为63?6． （2）12．

【考点】面动问题；含30度角直角三角形的性质；勾股定理；点的坐标；二次函数最值的应用；方程思想的应用.

【分析】（1）①作辅助线“过点C作y轴的垂线，垂足为D”，应用含30度角直角三角形的性质求出CD和BD的长，即可求出点C的坐标.

②设点A向右滑动的距离AA'?x，用表示出A'O和B'O的长，在△A'O B'中，应用勾股定理

列方程求解即可.

（2）设点C的坐标为?x, y?，

如答图3，过点C作CE⊥x轴，CD⊥y轴， 垂足分别为

E，D，则OE=－x，OD=y.

∵∠ACE＋∠BCE=90°，∠DCB＋∠BCE=90°， ∴∠ACE=∠DCB.

又∵∠AEC=∠BDC=90°，∴△ACE ∽△BCD.

????2??6?x??122，

2∴

y63CEAC?，即. ∴y??3x. ??x6CDBC2222∴OC???x??y?x??3x?2?4x2.

2∴当x取最大值，即点C到y轴距离最大时，OC有最大值，即OC取最大值，如图，即

当C'B'转到与y轴垂时. 此时OC=12．

10. （2019年江苏徐州12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D,交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点. （1）∠OBA= ▲ °； （2）求抛物线的函数表达式；

（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有．．．．3个？

【答案】解：（1）90.

（2）如答图1，连接OC，

∵由（1）知OB⊥AC，又AB=BC， ∴OB是的垂直平分线. ∴OC=OA=10.

在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6. ∴C(6，8)，B(8，4).

∴OB所在直线的函数关系为y?1x. 2又E点的横坐标为6，∴E点纵坐标为3，即E(6，3)． ∵抛物线过O(0，0)，E(6，3) ，A(10，0)，

∴设此抛物线的函数关系式为y?ax?x?10?， 把E点坐标代入得3?6a?6?10?，解得a??. ∴此抛物线的函数关系式为y??18115x?x?10?，即y??x2?x． 884 ?（3）设点P?p，?15p2??p?， ?34p?152. ?84?①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如答图2， ∵OP所在直线函数关系式为：y?????18?5?4??x， ∴当x=6时，y??34p?152，即Q点纵坐标为∴QE??3154p?2?3??34p?92. ∴S四边形POAE= S△OAE ＋S△OPE = S△OAE ＋S△OQE－S△PQE =

12?OA?DE?12?QE?D1x?2?QE??Dx?Px? =1?10?3?1?32????4p?9?2???6?122?????34p?9?2?393257???6?p???8p2?4p?15??8?p?6??2.

②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如答图3，

P???p， ?18p2?54p???，A(10，0)， ∴设AP所在直线方程为：y=kx＋b，

?10k?b?0把P和A坐标代入得，????pk?b??18p2?5，

4p?k?1解得????8p.

?5??b?4p∴AP所在直线方程为：y??18px?54p.