∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC. ∵BE?DG，∴四边形BGDE是平行四边形. ∴BO?DO，即点O是正方形ABCD的中心. ∴直线EG经过定点----正方形ABCD的中心.

（3）设AE?BF?CG?DH?x，则BE?CF?DG?AH?8?x，

∵S四边形EFGH?EF2?BE2?BF2?x2??8?x??2x2?16x?64?2?x?4??32， ∴当x?4时，四边形EFGH面积的最小值为32.

【考点】单动点和定值问题；正方形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；平行四边形的判定和性质；勾股定理；二次函数的应用（实际问题）.

【分析】（1）由SAS证明?AEH≌?BFE≌?CGF≌?DHG，即可证明四边形EFGH是一个角是直角的菱形----正方形.

（2）作辅助线“连接DE, BG, BD, EG，BD、EG相交于点O”构成平行四边形BGDE，根据平

行四边形对角线互分的性质即可证明直线EG经过定点-----正方形ABCD的中心.

（3）设AE?BF?CG?DH?x，根据正方形的性质和勾股定理得到S四边形EFGH关于x的二次函数，

应用二次函数最值原理求解即可.

6. （2019年江苏无锡8分）（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）

（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是 ▲ （请直接写出结果）． 【答案】解：（1）画树状图如下：

22

∵共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种， ∴P（第2次传球后球回到甲手里）=（2）

31?． 93n?1 2n【考点】列表法或树状图法；概率；探索规律题（数字的变化类）．.

【分析】（1）画树状图或列表，根据图表，可得总结果与传到甲手里的情况，根据传到甲手里的情况比上总结果，可得答案.

（2）根据第一步传的总结果是n，第二步传的总结果是n，第三步传的总结果是n，传给甲的结果

是n?n?1?，根据概率的意义，第三次传球后球回到甲手里的概率是

23n?n?1?n?1?2. 2nn7. （2019年江苏无锡10分）已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O(0，0)、A（5，0）、B(m，2)、C(m－5，2)．

（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA＝90o？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；

（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值． 【答案】解：（1）存在．

∵O?0， 0?、A?5， 0?、B?m， 2?、C?m?5， 2?， ∴OA=BC=5，BC∥OA.

如答图1，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别

交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，

过点D作DG⊥EF于G，连接DE，则

DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF，

∴EG?DE2?DG2?1.5.

∴E（1，2），F（4，2）. 由??m?5?4解得，1?m?9，

m?1?∴当1?m?9时，边BC上总存在这样的点P，

使∠OPA=90°.

（2）如答图2，

∵BC=OA=5，BC∥OA，

∴四边形OABC是平行四边形. ∴OC∥AB. ∴∠AOC+∠OAB=180°.

∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，

∴∠AOQ=

11∠AOC，∠OAQ=∠OAB. 22∴∠AOQ+∠OAQ=90°. ∴∠AQO=90°.

以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°， ∴点Q只能是点E或点F. 当Q在F点时，

∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分线，BC∥OA，

∴∠CFO=∠FOA=∠FOC，∠BFA=∠FAO=∠FAB. ∴CF=OC，BF=AB. 而OC=AB，∴CF=BF，即F是BC的中点． 而F点为 （4，2），∴此时m的值为6.5. 当Q在E点时，同理可求得此时m的值为3.5. 综上所述，m的值为3.5或6.5．

【考点】圆的综合题；垂径定理；圆周角定理；平行四边形的判定和性质；坐标与图形性质；勾股定理；分类思想的应用.

【分析】（1）由四边形四个点的坐标易得OA=BC=5，BC∥OA，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，根据圆周角定理得∠OEA=∠OFA=90°，如图1，作DG⊥EF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，根据垂径定理得EG=GF，利用勾股定理可计算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F（4，2），即点P在E点和F点时，满足条件，此时??m?5?4，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°；

?m?1（2）如图2，先判断四边形OABC是平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线定义可得到

∠AQO=90°，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，于是得到点Q只能是点E或点F，当Q在F点时，证明F是BC的中点．而F点为 （4，2），得到m的值为6.5；当Q在E点时，同理可求得m的值为3.5．

8. （2019年江苏无锡10分）如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段05上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M． （1）若∠AOB=60o，OM=4，OQ=1，求证：05⊥OB；

（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形； ①问：

11?的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由； OMONS1的取值范围． S2②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求

【答案】解：（1）证明：如答图，过点P作PE⊥OA于点E，

∵PQ∥OA，PM∥OB， ∴四边形OMPQ为平行四边形. ∵OQ=1，∠AOB=60°，

∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°. ∴PE?PM?sin60??31，ME?. 22∴CE?OC?OM?ME?3. 2∴tan?PCE?PE3?. ∴∠PCE=30°. ∴∠CPM=90°， CE3又∵PM∥OB，∴∠05O=∠CPM=90°，即05⊥OB. （2）①

11的值不发生变化，理由如下： ?OMON设OM?x，ON?y，

∵四边形OMPQ为菱形，∴OQ?QP?OM?x，NQ?y?x. ∵PQ∥OA，∴∠NQP=∠O.

又∵∠QNP=∠ONC，∴△NQP∽△NOC. ∴

xy?xy?x1111QPNQ????. ，即?， 化简,得?xy6xy66yOCON∴

111??不变化. OMON6②如答图,过点P作PE⊥OA于点E，过点N作NF⊥OA于点F，设OM?x， 则S1?OM?PE，S2?SxPE1OC?NF,∴1?．

S23NF2∵PM∥OB，∴∠MCP=∠O.