【答案】解：（1）原点O在⊙P外．理由如下：

∵直线y?3x?23与x轴、y轴分别交于A，B两点， ∴点A?2， 0?，B0， ?23.

??在Rt△OAB中，∵tan?OBA?∴∠OBA=30°，

OA23??， OB233如答图1，过点O作OH⊥AB于点H， 在Rt△OBH中，OH?OB?sin?OBA?3， ∵3＞1，∴原点O在⊙P外.

（2）如答图2，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，

∵PB=PC，∴∠PCB=∠OBA=30°.

∴⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°﹣30°﹣30°=120°. ∴弧长为：

120???12??. 180323同理：当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为：?. ∴当⊙P过点B时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长为：?. （3）如答图3，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，

∵PD⊥x轴，∴PD∥y轴. ∴∠APD=∠ABO=30°. ∴在Rt△DAP中，AD?DP?tan?DPA?1?tan30??∴OD?OA?AD?2?233， 33， 33，0）. 3∴此时点D的坐标为：（2?当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（2?0）.

综上所述，当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为：（2?3，333，0）或（2?，0）． 33【考点】圆和一次函数的的综合题；单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；点与圆的位置关系的判定；扇形弧长的计算；直线与圆相切的性质；分类思想的应用． 【分析】（1）作辅助线“过点O作OH⊥AB于点H”，由直线y?3x?23与x轴、y轴分别交于A，B两点，可求得点A、B的坐标，从而根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求得∠OBA=30°，进而应用三角函数可求得OH的长，继而根据点与圆的位置关系的判定求得结论.

（2）分点P在y轴右侧和点P在y轴左侧两种情况讨论：求得⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角，则可求得弧长.

（3）分⊙P位于x轴下方和⊙P位于x轴上方两种情况讨论即可.

2. （2019年江苏连云港12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上． （1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．

（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．

（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，将线段DG与线段BE相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．

【答案】解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，

∴△ADG≌△ABE（SAS）.∴∠AGD=∠AEB. 如答图1，延长EB交DG于点H， 在△ADG中，∵∠AGD+∠ADG=90°， ∴∠AEB+∠ADG=90°.

在△EDH中，∵∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，

∴∠DHE=90°. ∴DG⊥BE.

（2）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，

∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，即∠DAG=∠BAE， ∴△ADG≌△ABE（SAS）.∴DG=BE.

如答图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，则∠AMD=∠AMG=90°， ∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠MDA=45°. 在Rt△AMD中，∵∠MDA=45°，AD=2， ∴DM?AM?2. 在Rt△AMG中，根据勾股定理得：GM?AG2?AM2?6，

∵DG?DM?GM?2?6，∴BE?DG?2?6. （3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由如下：

∵对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大； ∵对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大. ∴△GHE和△BHD面积之和的最大值为2+4=6．

【考点】面动旋转问题；正方形的性质；全等三角形的判定和性质；三角形内角和定理；等腰直角三角形的性质，勾股定理；数形结合思想的应用．

【分析】（1）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到△ADG≌△ABE，利用全等三角形对应角相等得∠AGD=∠AEB，作辅助线“延长EB交DG于点H”，利用等角的余角相等得到∠DHE=90°，从而利用垂直的定义即可得DG⊥BE.

（2）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到△ADG≌△ABE，利用全等三角形对应边相等得到DG=BE，作辅助线“过点A作AM⊥DG交DG于点M”，则∠AMD=∠AMG=90°，在Rt△AMD中，根据等腰直角三角形的性质求出AM的长，即为DM的长，根据勾股定理求出GM的长，进而确定出DG的长，即为BE的长.

（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：对两个三角形，点H分别在以EG为直径的圆上和以BD为直径的圆上，当点H与点A重合时，两个三角形的高最大，即可确定出面积的最大值． 3. （2019年江苏连云港14分）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y?中点A的横坐标是﹣2．

（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．

（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；

12x交于A，B两点，其4（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？

【答案】解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，

∴y?12???2??1.∴A点的坐标为（2，﹣1）. 4设直线AB的函数关系式为y?kx?b，

3??b?4?k?将（0，4），（﹣2，1）代入得?，解得?2.

?2k?b?1???b?4∴直线AB的函数关系式为y?3x?4. 23?y?x?4??x??2?x?8?2∵直线与抛物线相交，∴联立，得?，解得：?或?.

y?16y?1???y?1x2?4?∴点B的坐标为（8，16）.

（2）如答图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，

∴AG2?BG2?AB2，

∵由A（﹣2，1），B（8，16）根据勾股定理，得AB2=325． 设点C（c，0），

根据勾股定理，得AC2??c?2??12?c2?4c?5，

2BC2??c?8??162?c2?16c?320，

①若∠BAC=90°，则AB2?AC2?BC2，

即325?c2?4c?5?c2?16c?320，解得：c??. ②若∠ACB=90°，则AB2?AC2?BC2，

即325?c2?4c?5?c2?16c?320，解得：c=0或c=6. ③若∠ABC=90°，则AB2?BC2?AC2，

212