江苏省13市2019年中考数学试题分类汇编解析:探索型问题 下载本文

【答案】解:(1)原点O在⊙P外.理由如下:

∵直线y?3x?23与x轴、y轴分别交于A,B两点, ∴点A?2, 0?,B0, ?23.

??在Rt△OAB中,∵tan?OBA?∴∠OBA=30°,

OA23??, OB233如答图1,过点O作OH⊥AB于点H, 在Rt△OBH中,OH?OB?sin?OBA?3, ∵3>1,∴原点O在⊙P外.

(2)如答图2,当⊙P过点B时,点P在y轴右侧时,

∵PB=PC,∴∠PCB=∠OBA=30°.

∴⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为:180°﹣30°﹣30°=120°. ∴弧长为:

120???12??. 180323同理:当⊙P过点B时,点P在y轴左侧时,弧长同样为:?. ∴当⊙P过点B时,⊙P被y轴所截得的劣弧的长为:?. (3)如答图3,当⊙P与x轴相切时,且位于x轴下方时,设切点为D,

∵PD⊥x轴,∴PD∥y轴. ∴∠APD=∠ABO=30°. ∴在Rt△DAP中,AD?DP?tan?DPA?1?tan30??∴OD?OA?AD?2?233, 33, 33,0). 3∴此时点D的坐标为:(2?当⊙P与x轴相切时,且位于x轴上方时,根据对称性可以求得此时切点的坐标为:(2?0).

综上所述,当⊙P与x轴相切时,切点的坐标为:(2?3,333,0)或(2?,0). 33【考点】圆和一次函数的的综合题;单动点问题;直线上点的坐标与方程的关系;锐角三角函数定义;特殊角的三角函数值;点与圆的位置关系的判定;扇形弧长的计算;直线与圆相切的性质;分类思想的应用. 【分析】(1)作辅助线“过点O作OH⊥AB于点H”,由直线y?3x?23与x轴、y轴分别交于A,B两点,可求得点A、B的坐标,从而根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求得∠OBA=30°,进而应用三角函数可求得OH的长,继而根据点与圆的位置关系的判定求得结论.

(2)分点P在y轴右侧和点P在y轴左侧两种情况讨论:求得⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角,则可求得弧长.

(3)分⊙P位于x轴下方和⊙P位于x轴上方两种情况讨论即可.

2. (2019年江苏连云港12分)在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上. (1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由.

(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长.

(3)如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,将线段DG与线段BE相交,交点为H,写出△GHE与△BHD面积之和的最大值,并简要说明理由.

【答案】解:(1)∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形,∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°,AG=AE,

∴△ADG≌△ABE(SAS).∴∠AGD=∠AEB. 如答图1,延长EB交DG于点H, 在△ADG中,∵∠AGD+∠ADG=90°, ∴∠AEB+∠ADG=90°.

在△EDH中,∵∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°,

∴∠DHE=90°. ∴DG⊥BE.

(2)∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°,AG=AE,

∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG,即∠DAG=∠BAE, ∴△ADG≌△ABE(SAS).∴DG=BE.

如答图2,过点A作AM⊥DG交DG于点M,则∠AMD=∠AMG=90°, ∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠MDA=45°. 在Rt△AMD中,∵∠MDA=45°,AD=2, ∴DM?AM?2. 在Rt△AMG中,根据勾股定理得:GM?AG2?AM2?6,

∵DG?DM?GM?2?6,∴BE?DG?2?6. (3)△GHE和△BHD面积之和的最大值为6,理由如下:

∵对于△EGH,点H在以EG为直径的圆上,∴当点H与点A重合时,△EGH的高最大; ∵对于△BDH,点H在以BD为直径的圆上,∴当点H与点A重合时,△BDH的高最大. ∴△GHE和△BHD面积之和的最大值为2+4=6.

【考点】面动旋转问题;正方形的性质;全等三角形的判定和性质;三角形内角和定理;等腰直角三角形的性质,勾股定理;数形结合思想的应用.

【分析】(1)由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形,利用正方形的性质得到两对边相等,且夹角相等,利用SAS得到△ADG≌△ABE,利用全等三角形对应角相等得∠AGD=∠AEB,作辅助线“延长EB交DG于点H”,利用等角的余角相等得到∠DHE=90°,从而利用垂直的定义即可得DG⊥BE.

(2)由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形,利用正方形的性质得到两对边相等,且夹角相等,利用SAS得到△ADG≌△ABE,利用全等三角形对应边相等得到DG=BE,作辅助线“过点A作AM⊥DG交DG于点M”,则∠AMD=∠AMG=90°,在Rt△AMD中,根据等腰直角三角形的性质求出AM的长,即为DM的长,根据勾股定理求出GM的长,进而确定出DG的长,即为BE的长.

(3)△GHE和△BHD面积之和的最大值为6,理由为:对两个三角形,点H分别在以EG为直径的圆上和以BD为直径的圆上,当点H与点A重合时,两个三角形的高最大,即可确定出面积的最大值. 3. (2019年江苏连云港14分)如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线y?中点A的横坐标是﹣2.

(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标.

(2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;

12x交于A,B两点,其4(3)过线段AB上一点P,作PM∥x轴,交抛物线于点M,点M在第一象限,点N(0,1),当点M的横坐标为何值时,MN+3MP的长度最大?最大值是多少?

【答案】解:(1)∵点A是直线与抛物线的交点,且横坐标为﹣2,

∴y?12???2??1.∴A点的坐标为(2,﹣1). 4设直线AB的函数关系式为y?kx?b,

3??b?4?k?将(0,4),(﹣2,1)代入得?,解得?2.

?2k?b?1???b?4∴直线AB的函数关系式为y?3x?4. 23?y?x?4??x??2?x?8?2∵直线与抛物线相交,∴联立,得?,解得:?或?.

y?16y?1???y?1x2?4?∴点B的坐标为(8,16).

(2)如答图1,过点B作BG∥x轴,过点A作AG∥y轴,交点为G,

∴AG2?BG2?AB2,

∵由A(﹣2,1),B(8,16)根据勾股定理,得AB2=325. 设点C(c,0),

根据勾股定理,得AC2??c?2??12?c2?4c?5,

2BC2??c?8??162?c2?16c?320,

①若∠BAC=90°,则AB2?AC2?BC2,

即325?c2?4c?5?c2?16c?320,解得:c??. ②若∠ACB=90°,则AB2?AC2?BC2,

即325?c2?4c?5?c2?16c?320,解得:c=0或c=6. ③若∠ABC=90°,则AB2?BC2?AC2,

212