4. （2019年江苏盐城3分）设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，则Sn可表示为 ▲ ．(用含n的代数式表示，其中n为正整数)

【答案】

1. 2n?1【考点】探索规律题（图形的变化类）；平行的判定和性质；相似三角形的判定和性质；等底或等高三角形面积的性质.

【分析】如答图，连接D1E1，可知D1E1∥BA.

在图①中，由题意，得?ABO∽?OD1E1，且D1E1?∴?AE1O和?BE1A的AE1边上高的比是.∴S?AE1O132111又∵S?AE1B?S?ABC，∴S1?S?ABO??S?ABC?S?ABC.

3232222在图②中，由题意，得?ABO∽?OD1E1，且D1E1?BA，∴OE1?OB?OE1?BE1.

353223∴?AE1O和?BE1A的AE1边上高的比是.∴S?AE1O?S?BE1A?S?ABO?S?BE1A.

5551311又∵S?AE1B?S?ABC，∴S2?S?ABO??S?ABC?S?ABC.

3535333在图③中，由题意，得?ABO∽?OD1E1，且D1E1?BA，∴OE1?OB?OE1?BE1.

474334∴?AE1O和?BE1A的AE1边上高的比是.∴S?AE1O?S?BE1A?S?ABO?S?BE1A.

777111BA，∴OE1?OB?OE1?BE1.

23212?S?BE1A?S?ABO?S?BE1A. 33又∵S?AE1B?……

4111S?ABC，∴S3?S?ABO??S?ABC?S?ABC.

74741依此类推， Sn可表示为Sn?S?ABC，

2n?1∵S?ABC?1，∴Sn?1. 2n?1

5. （2019年江苏常州2分）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想． 4=2+2； 12=5+7； 6=3+3 14=3+11=7+7； 8=3+5； 16=3+13=5+11； 10=3+7=5+5 18=5+13=7+11； …

通过这组等式，你发现的规律是 ▲ （请用文字语言表达）． 【答案】所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和. 【考点】探索规律型题（数字的变化类）．.

【分析】根据以上等式得出规律，此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和. 6. （2019年江苏淮安3分）将连续正整数按如下规律排列：

第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第1列 1 9 17 第2列 2 8 10 16 18 ……… 若正整数565位于第a行，第b列，则a?b＝ ▲ ．

第3列 3 7 11 15 19 第4列 4 6 12 14 20 第5列 5 13 【答案】147.

【考点】探索规律题（数字的变化类——循环问题）. 【分析】分别根据行和列的循环规律求解：

∵行的排列规律是4个数一行，而

5651?141?，∴a?142. 445655?70?， 88∵列的排列规律是按照1—2—3—4—5—4—3—2列的顺序8个数一循环， 而∴b?5. ∴a?b?147.

7. （2019年江苏南通3分）关于x的一元二次方程ax2?3x?1?0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是 ▲ ． 【答案】?

【考点】一元二次方程与二次函数的关系；一元二次方程根的判别式；二次函数的性质；分类思想和数形结合思想的应用.

【分析】∵关于x的一元二次方程ax2?3x?1?0的两个不相等的实数根，

94?a?0?9?a?0???∴?9?a>?且a?0. 24?????3??4?a???1?>0?a>??4?设y?ax2?3x?1

∵实数根都在﹣1和0之间， ∴当a＞0时，如答图1，

由图可知， 当x?0时，y>0；但y?0?0?1??1，矛盾， ∴此种情况不存在. 当a＜0时，如答图2，

由图可知， 当x??1时，y<0，即a?3?1<0?a

8. （2019年江苏宿迁3分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y?轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为 ▲ ．

943x?3与x轴、y4

【答案】

28. 5【考点】单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；垂线段最短的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质．

【分析】根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出答案

如答图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°， 当PM⊥AB时，PM最短， ∵直线y?3x?3与x轴、y轴分别交于点A，B， 4∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3）. 在Rt△AOB中，∵AO=4，BO=3，∴根据勾股定理，得AB=5. ∵∠BMP=∠AOB=90°，∠ABO=∠PBM， ∴△PBM∽△ABO. ∴

PBPM284?3PM，即：，解得PM?. ??ABAO554

1. （2019年江苏连云港10分）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y?3x?23与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1． （1）判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由； （2）当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长； （3）当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．