立．

（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．

【分析】（Ⅰ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率即可．

（Ⅱ）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可．

【解答】解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（1﹣0.5）=0.3，故P=0.6，

该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，

由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8 （Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X～B（100，0.2） 所以EX=100×0.2=20

19．（12分）（2011?大纲版）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1． （Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量

，当

当

为钝角时，所求的角为

为锐角时，所求的角即为它的余角；

【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中， ∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1 ∴AD=

=

∵侧面SAB为等边三角形，AB=2 ∴SA=2 ∵SD=1 ∴AD2=SA2+SD2 ∴SD⊥SA 同理：SD⊥SB

∵SA∩SB=S，SA，SB?面SAB ∴SD⊥平面SAB

（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系

则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），

作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=则

设平面SBC的一个法向量为则

，

，故可得S（，0，）

即

取x=0，y=，z=1

=（0，

，1）

即平面SBC的一个法向量为又

=（0，2，0）

cos＜，＞===

∴＜

，＞=arccos

即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin

20．（12分）（2011?大纲版）设数列{an}满足a1=0且．（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设

，记

，证明：Sn＜1．

【分析】（Ⅰ）由是公差为1的等差数列，，由此能求出{an}的通项公式．

（Ⅱ）由

==

，能够证明Sn＜1．

【解答】解：（Ⅰ）

是公差为1的等差数列，

，

∴

（n∈N*）．

（Ⅱ）==，

知

∴

=1﹣＜1．

21．（12分）（2011?大纲版）已知O为坐标原点，F为椭圆C：正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣

．

（Ⅰ）证明：点P在C上；

在y轴

的直线l与C交于A、B两点，点P满足

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程根据已知中过F且斜率为﹣

，

的直线l与C交于A、B两点，点P满足

，我们求出点P的坐标，代入验证即可．

（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可． 【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2） 椭圆C：

①，则直线AB的方程为：y=﹣

x﹣1=0，

x+1 ②

联立方程可得4x2﹣2则x1+x2=则y1+y2=﹣

，x1×x2=﹣ （x1+x2）+2=1

设P（p1，p2）， 则有：∴

+

=（x1，y1），

=（x2，y2），

，1）；

=（p1，p2）； =（p1，p2）=﹣（

+

）=（﹣

，

=（x1+x2，y1+y2）=（