证明：由于牛顿-柯特斯公式的代数精度特斯公式对

，故在区间

上使用牛顿-柯

精确成立，即：

，也就是：

或

为：

，写成矩阵形式即

4．证明

，若不是整数，且

；若不是整数，且

，则

，则。

证明：因为，所以：

若不是整数，且于是

时，有。再由：

成立，所以：

，

和得：。

同理当即证毕 5.假设

在

时，，两边再减有：

时，

，。

，所以若不是整数，且

上连续，。证明：存在成

立

证明：因在上连续，故在上必取得最大值和最小

值，即当时。又若令，则由得：

。故由连续函数的介值定理知：必存在，

使，即。

6.若用复化梯形公式求积分

有五位有效数字？

，则积分区间要多少等分才能保证计算结果

解：欲使

，

，其中

只须

有五位有效数字。

，即积分区间要68等分才能保证计算结果

8．验证复化柯特斯公式和复化辛卜生公式之间存在递推关系。

解：将区间在每个小区间

n等分，其节点

上采用辛卜生公式得：

，

，以及：

，于是：

即：

。证毕。

13．假定在上有二阶连续导数，求证

，

证明：因在上有二阶连续导数，则：

，

两边积分得：，因

在上连续，故存在，使

，即：

。证毕

14．给定求积公式

使之代数精确度尽可能高。

解：若求积公式对

，试决定求积系数，

精确成立，则必满足方程组：

，解之得：

公式仍精确成立，但当公式具有3次代数精度。

，由于当时，求积

时，求积公式不再精确成立，故该求积

第二章 函数的插值

2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。

解：（1）用牛顿方法。先作差商表：