6．证明的最佳一致逼近次多项式就是在上的某个次拉格

朗日插值多项式。

证明：（1）若自身。这时在

上任取

，则

的最佳一致逼近次多项式就是个不同的点，

就可以看作以这

个

点为插值节点的关于自身的拉格朗日插值多项式。 （2）若

，且

是

的最佳一致逼近次多项式，则由在

在

上有至少由

上至少有

个点组成个零点，

契比雪夫定理知，误差曲线的交错点组，从而由介值定理知于是

就是以这

个零点为插值节点的次拉格朗日插值多项式。

12．构造区间上的最小零偏差次代数多项式。

解：已知在[的最小零偏差次代数多项式为

个点

，即它是处轮流取

次首一多项式，且在[-1，1]上的

得其最大值与最小值。 对于区间，作变换，

则当时，，以代入得

，其首项系数为，于是

是在上的次首一多项式，且在

个点处轮流取得其最大值与最小值

， 故上的最小零偏差次代数多项式为

。

15．假设是上的个互不相同的点，证明：对于任意向量

，方程组

证明：原方程组的矩阵形式为：

有唯一解。

为证明上述方程组有唯一解，仅需证明对应的齐次方程组只有零解。用反证法，假设对应的齐次方程组有非零解

，由此

令，于是对应的齐次方程组相当于，注意到已知

且互不相同以及

在中为奇函数，故，再加

上，从而次三角多项式在中有个

零点，这与引理3的性质6相矛盾。于是原方程组有唯一解。 17．证明许瓦兹不等式质。

，并借此证明内积范数满足范数的3条性

证：取，则

故：

推出：

。并由内积的性质：

（1）且

（2）（3）由于：

所以：

20．若连续函数列在上带权正交，且恒正，证明：

对任意个数，广义多项式在上至少有一个零点。

证明：用反证法。若存在个数，使广义多项式在

上没有零点，由于为连续函数，故在上恒正，

或恒负。不妨设，又由恒正，故

。但由于

正交，故

在上带权

，这与上式矛盾。

因此，对任意个数一个零点。

，广义多项式在上至少有

第五章 数值积分

1.若求积公式（2）具有m次代数精度，试证明对于任意次数不超过m的代数多项式

，都有

。

证明：因为对，都有，从而由

的线性性质以及任意有：

。结论成立。

2.证明柯特斯系数满足。

证明：（1）由，令，则

故

（2）由于牛顿-柯特斯公式的代数精度

，故对零次多项式

，

有，即，也就是，

即，由得。

3.证明柯特斯系数满足方程组：