5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为

证：因为

其中：

7．证明。

证：设 ，则

11．用拉格朗日途径导出如下

的

次埃尔米特插值

，满足：

。

解：先构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：

满足上述条件的的多项式可以写成：

其中A为待定系数，再由条件得：

即：

再构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：

，

令：

它满足上述条件中除外的所有其他条件，于是再由

所以，于是：

于是所求的埃尔米特插值多项式为

三 样条插值和曲线拟合

12．若函数

，它在

是实轴上个由小到大排列的点，考虑一个上是一个二次多项式，并且

上

连续，这样的

上的是

称为二次样条插值。试

的

已知值，又在内节点

证这样的二次样条插值有很多，并问加上何种条件才能使它唯一，给出求方程。

解：由于在每个小区间是在

上共有

上，

有3个待定系数，于

个待定系数，。要满足的条件是：

通过型值点：有

个方程；

，共

的一阶导数连续，即

共有

个方程。

这样总共有个方程，而待定系数有个，于是

在

可以有很多。若

上是一个二

要使它唯一确定，加上即可。事实上：考虑

次多项式，可以写成：，若记为

未知量，则：，再由得，故

，再由得：

再由得

为已知，从而由

，且由递推关系知

是唯一确定的。

，可求

16．证明：贝齐尔曲线证：因

。

19．证明：。

证：因为：，两边求导得：

故：

四 最佳逼近

。