第一章 误差
1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.
解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式A?4?r计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生
的误差即为模型误差.
在计算过程中,要用到?,我们利用无穷乘积公式计算?的值:
2??2?其中
22??... q1q2??q1?2, ???qn?1?2?qn,n?2,3,...我们取前9项的乘积作为?的近似值,得
这个去掉?的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.
??3.141587725...
2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:
816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236
3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位
4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位
5. 若a?1.1062,b?0.947,是经过舍入后得到的近似值,问:a?b,a?b各有几位有效数字?
11?10?4,db??10?3, 22又a?b?0.20532?10,
111d?a?b??da?db?da?db??10?4??10?3?0.55?10?3??10?2,
222所以a?b有三位有效数字;
因为a?b?0.10475714?10,
111d?a?b??bda?adb?0.947??10?4?1.1062??10?3?0.60045?10?3??10?2
222所以a?b有三位有效数字.
解: 已知da?
6. 设y1?0.9863,y2?0.0062,是经过舍入后作为x1,x2的近似值.求值的相对误差限及y1?y2与真值的相对误差限. 解: 已知x1?y1?dx1,x2?y2?dx2,dx1=11,的计算值与真y1y211?10-4,dx2??10-4, 221?4?10?1?dxdxdr???dr?x1??1?1?2?0.50?10?4;
x1y10.9863?x1?1?4?10?1?dxdxdr???dr?x2??2?2?2?0.81?10?2;
x2y20.0062?x2?dr?x1?x2??dr?x1??dr?x2??0.50?10?4?0.81?10?2?0.82?10?2.
7. 正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm2.
解: 设正方形面积为S,边长为a,则S=a2.所以要使:ds?da?2ada?1,则要求
2da?
11??0.5?10?2.所以边长的误差不能超过0.5?10?2cm. 2a200?8. 用观测恒星的方法求得某地维度为450?2??(读到秒),试问:计算sin?将有多大误差?
1????解: d?sin???cos?d??cos?450?2?????.
?2???
9 . 真空中自由落体运动距离s与时间的关系由公式s?12gt确定,g是重力加速度.现在假2设g是准确的,而对t的测量有?0.1s的误差,证明t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.
证明: 因为:ds?d?dsgtdtgtdtdt?12?gt??gtdt;???2. ds与
12sst?2?gt2t成正比,
ds与st成反比,
所以当dt固定的时候, t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.
10. 设x?0,x的相对误差为?,求lnx的绝对误差. 解: 已知
dx??x,所以lnx的绝对误差d?lnx??dx??x.
11. 设x的相对误差为?%,求x的相对误差.
ndxnnxn?1dxndx??n?%. 解: n?xxnx
12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限如何? 解: 已知V?4dR?R3,设dr?R???a,则要使得 3Rdr?V??1dV?dlnV?dlnR3?3dlnR?3dlnR?3dr?R??3a?1%,则a??1%.
3V第二章 函数的插值
2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。
解：（1）用牛顿方法。先作差商表：
所以：
（2）用Lagrange 方法
化简得：
（3）用内维尔方法
再由：
得：
4．求，利用，取节点作插值，并估计截断误差。
解：先作差商表：
所以，。故：
其截断误差：
由于，所以