所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种.
4．现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮．用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干挡不同的车速．“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有4个齿轮，齿数分别是36，24，16，12．问：这种变速车一共有多少挡不同的车速?
【分析与解】算出全部的传动比，并列成表：
这里有4对传动比是相同的：1，
3，2，3，将重复的传动比去掉，剩下8个不同的比，所以2共有8挡不同的车速．
5．分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个?
【分析与解】 分子的取值范围是从1到5．
当分子为1时，分母可从2到59，共有58个真分数，它们当然都是不可约分数．
由于2，3，5都是质数，因此当分子分别为2，3，5时，分母必须而且只需适合下列两个条件： ①分母大于分子且小于60． ⑦分母不是分子的倍数．
易知：当分子为2时，适合条件的分母有29个； 当分子为3时，适合条件的分母有38个： 当分子为5时，适合条件的分母有44个；
最后来看分子为4的情形，与分子为2基本相同，分母不能为偶数，此外分母不能为3．所以共有28(=29—1)个．
总之，符合要求的分数共有58+29+38+44+28＝197个．
6．一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?
【分析与解】方法一：如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点?时可剪出的三角形个数，需剪的刀数．
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不难看出，当正方形内部有n个点时，可以剪成2n＋2个三角形，需剪3n+l刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形，需剪3×1996+1=5989刀．
方法二：我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n个点时，共有360n+360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2个三角形．
2n+2个三角形共有3×(2n+2)=6n+6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的三角形边有6n+6—4=6n+2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用剪(6n+2)÷2＝3n+1刀．
本题中n=1996，所以可剪成3994个三角形，需剪5989刀．
7．如图15—3，某城市的街道由5条东西与7条南北向马路组成．现在要从西南角的A处沿最短路线走到东北角的B处，由于修路十字路口C不能通过，那么共有多少种不同走法?
【分析与解】 因为每个路口(点)只能由西边相邻点、南边相邻点走过来，所以达到每个点的走法为西边相邻点、南边相邻点的走法之和，并且最南方一排、最西方一排的所有点均只有1种走法． 因为C点不能通过，所以C处所标的数字为0．如下图所示：
所以，从A到B满足条件的走法共有120种
8．经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在信封的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打．有一天共有9封信打，经理按第1封，第2封，?，第9封的顺序交给秘书．午饭时，秘书告诉同事，已把第8封信打印好了，但未透露上午工作的其他情况，这个同事很想知道是按什么顺序来打印．根据以上信息，下午打印的信的顺序有多少种可能?(没有要打的信也是一种可能)
【分析与解】 我们根据最后一封信来计数： (1)第9封信在上午送给秘书；
于是，T={1，2，3，4，5，6，7，9}
则下午打印的每种可能都是T的一个子集，因为秘书可以把不在子集中的信件上午一送来就打完了，
8
而未打别的信．集T有8个元素，故有2=256个不同子集(包括空集)． (2)第9封信在午后才送给秘书．令 S＝{1，2，3，4，5，6，7}，
则上午未打印的信的号码是S的一个子集．若将9排在子集之后，则与⑴中的情形相同，故只有子集中至少有一封信已把号码9放在该子集的非最后的位置上．对于有k个元素的子集，号码9有k个位置可放，即可放在第i一1个元素之后和i个元素之前，i=1，2，?，k．于是不同的顺序总数为：
012776
0×C7+1×C7+2×C7+?+7×C7=7×2÷2=7×2=448 即下午有448种可能的打印顺序．
所以，下午共有256+448=704种打印的方法．
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第16讲逻辑推理
内容概述
体育比赛形式的逻辑推理问题，其中存在的呼应——“一队的胜、负、平分对应着另一队的负、平、胜”对解题有重要作用，有时宜将比赛情况用点以及连这些点的线来表示．需要从整体考虑，涉及数量比较、整数分解等具有一定综性的逻辑推理问题．
典型问题
1．共有4人进行跳远、百米、铅球、跳高4项比赛，规定每个单项中，第一名记5分，第二名记3分，第三名记2分，第四名记1分．已知在每一单项比赛中都没有并列名次，并且总分第一名共获17分，其中跳高得分低于其他项得分；总分第三名共获11分，其中跳高得分高于其他项得分．问总分第二名在铅球项目中的得分是多少? 【分析与解】 每个单项的4人共得分5+3+2+1=11分，所以4个单项的总分为11×4=44分，而第一，三名得分为17、11分，所以第二、四名得分之和为44?(17?11)?16分 其中第四名得分最少为4分，此时第二名得分最高，为16-4=12分；又因为第三名为11分，那么第二名最低为12分； 那么第二名只能为12分，此时第四名4分．
于是，第一、二、三、四名的得分依次为17、12、1l、4分，而17只能是 5+5+5+2，4只能是1+1+1+1. 不难得到下表：
由表知总分第二名在铅球项目中的得分是3分．
2．4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少?
2 【分析与解】 四个队共赛了C4?4?3?6场，6场总分m在12(=6×2)与18(=6×3)之间． 2 由于m是4个连续自然数的和，所以m=2＋3＋4=5＝14或m=3+4+5=18．
如果m=18，那么每场都产生3分，没有平局，但5=3+1+1表明两场踢平，矛盾． 所以m=14，14=3×2+2×4表明6场中只有2场分出胜负．此时第一、二、三、四名得分依次为5、4、3、2．
则第三名与所有人打平，那么第二名没有了平局，只能是第一名与第四名打平，这样第一名还有1局胜，第二名还有1局负，所以第一名胜第二名． 即输给第一名的队得4分．
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如下图所示，在两队之间连一条线表示两队踢平，画一条A?B,，表示A胜B,各队用它们的得分来表示．
评注：常见的体育比赛模式
N个队进行淘汰赛，至少要打N?1场比赛：每场比赛淘汰一名选手； N个队进行循环赛，一共要打C2N?循环赛中常见的积分方式：
①两分制：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分； 核心关系：总积分=2×比赛场次；
②三分制：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O分； 核心关系：总计分=3×比赛场次-1×赛平场次．
3． 6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．现在比赛已进行了4轮，即每队都已与4个队比赛过，各队已赛4场的得分之和互不相同．已知总得分居第三位的队共得7分，并且有4场球踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得多少分?最少可得多少分?
【分析与解】 每轮赛3场，最多产生3?3?9分，四轮最多4?9?36分．现在有4场踢成平局，每平一场少1分，所以总分为36?4?1?32． 前三名得分的和至少为7?8?9?24. 所以后三名的得分的和至多为32?24?8.
第5名如果得4分，则后三名的得分的和至少为4?5?9,这不可能，所以第5名最多得3分，图(a)为取3分时的一种可能的赛况图．
显然第5名最少得1分，图(b)为取1分时的一种可能的赛况图．
N(N?1)场比赛：每个队要打N?1场比赛． 2
评注：以下由第5名得分情况给出详细赛况：
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