小学奥数36个精彩讲座总汇(下) 下载本文

所以当圆周上有12个点时,满足题意的连法有55种.

4.现在流行的变速自行车,在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮.用链条连接不同搭配的齿轮,通过不同的传动比获得若干挡不同的车速.“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮,齿数分别是48,36,24;后轴上有4个齿轮,齿数分别是36,24,16,12.问:这种变速车一共有多少挡不同的车速?

【分析与解】算出全部的传动比,并列成表:

这里有4对传动比是相同的:1,

3,2,3,将重复的传动比去掉,剩下8个不同的比,所以2共有8挡不同的车速.

5.分子小于6,分母小于60的不可约真分数有多少个?

【分析与解】 分子的取值范围是从1到5.

当分子为1时,分母可从2到59,共有58个真分数,它们当然都是不可约分数.

由于2,3,5都是质数,因此当分子分别为2,3,5时,分母必须而且只需适合下列两个条件: ①分母大于分子且小于60. ⑦分母不是分子的倍数.

易知:当分子为2时,适合条件的分母有29个; 当分子为3时,适合条件的分母有38个: 当分子为5时,适合条件的分母有44个;

最后来看分子为4的情形,与分子为2基本相同,分母不能为偶数,此外分母不能为3.所以共有28(=29—1)个.

总之,符合要求的分数共有58+29+38+44+28=197个.

6.一个正方形的内部有1996个点,以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点,将它剪成一些三角形.问:一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀,那么共需剪多少刀?

【分析与解】方法一:如下图,采用归纳法,列出1个点、2个点、3个点?时可剪出的三角形个数,需剪的刀数.

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不难看出,当正方形内部有n个点时,可以剪成2n+2个三角形,需剪3n+l刀,现在内部有1996个点,所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形,需剪3×1996+1=5989刀.

方法二:我们知道内部一个点贡献360度角,原正方形的四个顶点共贡献了360度角,所以当内部有n个点时,共有360n+360度角,而每个三角形的内角和为180度角,所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2个三角形.

2n+2个三角形共有3×(2n+2)=6n+6条边,但是其中有4条是原有的正方形的边,所以正方形内部的三角形边有6n+6—4=6n+2条边,又知道每条边被2个三角形共用,即每2条边是重合的,所以只用剪(6n+2)÷2=3n+1刀.

本题中n=1996,所以可剪成3994个三角形,需剪5989刀.

7.如图15—3,某城市的街道由5条东西与7条南北向马路组成.现在要从西南角的A处沿最短路线走到东北角的B处,由于修路十字路口C不能通过,那么共有多少种不同走法?

【分析与解】 因为每个路口(点)只能由西边相邻点、南边相邻点走过来,所以达到每个点的走法为西边相邻点、南边相邻点的走法之和,并且最南方一排、最西方一排的所有点均只有1种走法. 因为C点不能通过,所以C处所标的数字为0.如下图所示:

所以,从A到B满足条件的走法共有120种

8.经理将要打印的信件交给秘书,每次给一封,且放在信封的最上面,秘书一有空就从最上面拿一封信来打.有一天共有9封信打,经理按第1封,第2封,?,第9封的顺序交给秘书.午饭时,秘书告诉同事,已把第8封信打印好了,但未透露上午工作的其他情况,这个同事很想知道是按什么顺序来打印.根据以上信息,下午打印的信的顺序有多少种可能?(没有要打的信也是一种可能)

【分析与解】 我们根据最后一封信来计数: (1)第9封信在上午送给秘书;

于是,T={1,2,3,4,5,6,7,9}

则下午打印的每种可能都是T的一个子集,因为秘书可以把不在子集中的信件上午一送来就打完了,

8

而未打别的信.集T有8个元素,故有2=256个不同子集(包括空集). (2)第9封信在午后才送给秘书.令 S={1,2,3,4,5,6,7},

则上午未打印的信的号码是S的一个子集.若将9排在子集之后,则与⑴中的情形相同,故只有子集中至少有一封信已把号码9放在该子集的非最后的位置上.对于有k个元素的子集,号码9有k个位置可放,即可放在第i一1个元素之后和i个元素之前,i=1,2,?,k.于是不同的顺序总数为:

012776

0×C7+1×C7+2×C7+?+7×C7=7×2÷2=7×2=448 即下午有448种可能的打印顺序.

所以,下午共有256+448=704种打印的方法.

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第16讲逻辑推理

内容概述

体育比赛形式的逻辑推理问题,其中存在的呼应——“一队的胜、负、平分对应着另一队的负、平、胜”对解题有重要作用,有时宜将比赛情况用点以及连这些点的线来表示.需要从整体考虑,涉及数量比较、整数分解等具有一定综性的逻辑推理问题.

典型问题

1.共有4人进行跳远、百米、铅球、跳高4项比赛,规定每个单项中,第一名记5分,第二名记3分,第三名记2分,第四名记1分.已知在每一单项比赛中都没有并列名次,并且总分第一名共获17分,其中跳高得分低于其他项得分;总分第三名共获11分,其中跳高得分高于其他项得分.问总分第二名在铅球项目中的得分是多少? 【分析与解】 每个单项的4人共得分5+3+2+1=11分,所以4个单项的总分为11×4=44分,而第一,三名得分为17、11分,所以第二、四名得分之和为44?(17?11)?16分 其中第四名得分最少为4分,此时第二名得分最高,为16-4=12分;又因为第三名为11分,那么第二名最低为12分; 那么第二名只能为12分,此时第四名4分.

于是,第一、二、三、四名的得分依次为17、12、1l、4分,而17只能是 5+5+5+2,4只能是1+1+1+1. 不难得到下表:

由表知总分第二名在铅球项目中的得分是3分.

2.4支足球队进行单循环比赛,即每两队之间都比赛一场.每场比赛胜者得3分,负者得0分,平局各得1分.比赛结果,各队的总得分恰好是4个连续的自然数.问:输给第一名的队的总分是多少?

2 【分析与解】 四个队共赛了C4?4?3?6场,6场总分m在12(=6×2)与18(=6×3)之间. 2 由于m是4个连续自然数的和,所以m=2+3+4=5=14或m=3+4+5=18.

如果m=18,那么每场都产生3分,没有平局,但5=3+1+1表明两场踢平,矛盾. 所以m=14,14=3×2+2×4表明6场中只有2场分出胜负.此时第一、二、三、四名得分依次为5、4、3、2.

则第三名与所有人打平,那么第二名没有了平局,只能是第一名与第四名打平,这样第一名还有1局胜,第二名还有1局负,所以第一名胜第二名. 即输给第一名的队得4分.

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如下图所示,在两队之间连一条线表示两队踢平,画一条A?B,,表示A胜B,各队用它们的得分来表示.

评注:常见的体育比赛模式

N个队进行淘汰赛,至少要打N?1场比赛:每场比赛淘汰一名选手; N个队进行循环赛,一共要打C2N?循环赛中常见的积分方式:

①两分制:胜一场得2分,平一场得1分,负一场得0分; 核心关系:总积分=2×比赛场次;

②三分制:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得O分; 核心关系:总计分=3×比赛场次-1×赛平场次.

3. 6支足球队进行单循环比赛,即每两队之间都比赛一场.每场比赛胜者得3分,负者得0分,平局各得1分.现在比赛已进行了4轮,即每队都已与4个队比赛过,各队已赛4场的得分之和互不相同.已知总得分居第三位的队共得7分,并且有4场球踢成平局,那么总得分居第五位的队最多可得多少分?最少可得多少分?

【分析与解】 每轮赛3场,最多产生3?3?9分,四轮最多4?9?36分.现在有4场踢成平局,每平一场少1分,所以总分为36?4?1?32. 前三名得分的和至少为7?8?9?24. 所以后三名的得分的和至多为32?24?8.

第5名如果得4分,则后三名的得分的和至少为4?5?9,这不可能,所以第5名最多得3分,图(a)为取3分时的一种可能的赛况图.

显然第5名最少得1分,图(b)为取1分时的一种可能的赛况图.

N(N?1)场比赛:每个队要打N?1场比赛. 2

评注:以下由第5名得分情况给出详细赛况:

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