【分析与解】如图 每根原棒的5节记为A、B、C、D、E,特别得注意到原棒可以

左右倒置，即 有可能与 是同种情况．

不难得知,当原棒上的5节对称时,即 与是同种情况.

①

,其中A有3种颜色可选,B也有3种颜色可选,C还是有3种颜色可选,故有

3×3×3=27种不同的染法．

②考虑不对称时 则A有3种原色可选，B、C、D、E也各有3种颜色可选,于是有

3×3×3×3×3=243种不同的染法．

所以,其中不对称有243-27=216种,不对称的 与 重复计算

了,而对称的 没有重复计算．

所以,共有216÷2+27=135种实质不同的着色方式．

8.如图33-3,八面体有12条棱,6个顶点.一只蚂蚁从顶点A出发,沿棱爬行,要求恰好经过每个顶点一次.问共有多少种不同的走法?

【分析与解】 A?B,A?D,A?E,A?F,这4类走法,每类走法的种数一样多，所以只用考察A?B的后续步骤有多少种：

B?E?C?D?F，B?E?C?F?D,B?E?D?F?C,B?E?D?C?F, B?F?D?E?C，B?F?D?C?E，B?F?C?E?D，B?F?C?D?E,

B?C?E?D?F，B?C?F?D?E(从B?C后三步只能是顺时针或逆时针,只用2种).共10种．

所以从A点出发共有10×4=40种不同的满足题中条件的走法

10.某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木,每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种,每色各涂两个面.当两个积木经过适当的翻动以后,能使各种颜色的面所在位置相同时,它们就被看作是同一种积木块.试说明:最多能涂成多少种不同的积木块? 【分析与解】 总可以使下底面为红色．

如果上底面也是红色,通过翻过,可以使前面为黄色,左面不是黄色,这时后面可以是黄色,也可以是

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蓝色,有2种．

如果上底面不是红色,通过旋转,可以使后面为红色.这时又分两种情况： (1)前面与上面同色,可以同为黄色,也可以同为蓝色,有2种．

(2)前面与上面不同色,通过翻动,可以使上面为黄色,前面为蓝色这时右面可以是黄色,也可以是蓝色，有2种．

因此,共可涂成2+2+2=6种不同的积木块．

12.有8个队参加比赛,采用如图33-4所示的淘汰制方式.问在比赛前抽签时,可以得到多少种实质不同的比赛安排表?

【分析与解】 我们标上字母,如下图．

8如果全排列为P8=8！因为A,B；B,A实质赛程一样；同理C/D,E/F,G/H,I/J,K/L,M/N均是,所以除以7

个2．

7

于是,共有8！÷2=315种实质不同的赛程安排．

14. 游乐园的门票1元1张,每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票,其中5个小朋友只有1元的钞票,另外5个小朋友只有2元的钞票,售票员没有准备零钱.问有多少种排队方法,使售票员总能找得开零钱?

【分析与解】方法一:按第一个带2元钞票的小朋友前面有几个小朋友来确定排队的方案,共有五个方案：

①带1元的5个小朋友都排在前边,即1111l22222,只有1种情况；

⑦带1元的小朋友有4个排在前面,即1111212222,1111221222,1111222122,1111222212，共有4种情况；

③带1元的小朋友有3个排在前边,如1112112222,?，共有9种情况； ④带1元的小朋友有2个排在前边,如1121112222,?，共有14种情况； ⑤带1元的小朋友只有1个排在前边,如1211112222，?，共有14种情况． 五个方案共有1+4+9+14+14=42(种)情况． 因为10个小朋友互不相同,所以每种情况有5！×5！=14400(种)排队方法,总共有42×14400=604800种排队方法,使售票员总能找得开零钱．

方法二:如下左图,先将拿1元的小朋友看成相同的,2元的小朋友看成相同的.在下图中,每条小横线代表拿l元的小朋友,每条小竖线代表拿2元的小朋友．

从A到B的不论在网格中的何点均有横线数不小于竖线数． 相当于求A到B的走法：

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我们再由上右图知:从A?B的走法有42种．

因为各个小朋友都是不同的,所以共有42×5！×5！=42×120×120=604800种情况．

评注:游乐园的门票1元1张,每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票,其中n个小朋友只有1元的钞票,另外n个小朋友只有2元的钞票,售票员没有准备零钱.则有

?2n?!?n!种排队方法,使售票员总能找?n＋1?!得开零钱．

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第34讲最值问题

内容概述

均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．

典型问题

2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?

【分析与解】 方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．

则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．

这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．

方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，

?a?b?c?61①?1?a?b?d?61②有?，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）?244,所以a+b+c+d?81,因为a+b+c+d

3?a?c?d?61③??b?c?d?61④均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．

?a?b?c?60 ①??a+b+d?60 ②评注：不能把不等式列为?，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为

a+c+d?60 ③???b+c+d?60 ④a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.

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