=
1(a+b)×(a+b) 212
=(a+b)； 2
三个直角三角形的面积和=
1112
ab+ab+c； 222梯形面积=三个直角三角形面积和．
111221222
(a+b)=ab+ab+c,所以a+b=c. 22224.公元前3世纪的欧几里得在《几何原本》中给出一种证明,简叙如下：
如图,作出三个正方形,它们的边长分别为直角三角形ABC的三边长.连接图中的虚线段对应的点；过C作CK平行于AF,交AB、FG分别于J、K点．
易证△AFC≌△BAE,有S?FAC?111AF.FK=S矩形AFKJ,S?BAE?EA.CA=S正方形ACDE,所以S矩形AFKJ? 222S正方形ACDE；
易证△CBG≌△HBA，有S?CBG?111BG.KG=S矩形KGBJ,S?HBA?BH.IH=S正方形CBHI,所以S矩形KGBJ 222?S正方形CBHI.
而S正方形AFGB?S矩形AFKJ?S矩形KGBJ?S正方形ACBE?S正方形CBHI．
即有AB=AC+CB.
2222222
5. 勾股数组:a=u-v,b=2uv,c=u+v如果a、6、c可以如此表达,那么a、b、c称之为勾股数组,有a+b=c． 如:u=2,v=l时a=3,b=4,c=5；u=7,v=6时a=13,b=84,c=85．
当然将已知的勾股数组内每个数都同时扩大若干倍得到的新的一组数还是勾股数组.
2
2
2
典型问题
2.智能机器猫从平面上的O点出发.按下列规律行走:由O向东走12厘米到A1,由A1向北走24厘米到A2,由A2向西走36厘米到A3,由A3向南走48厘米到A4,由A4向东走60厘米到A5,?,问:智能机器猫到达A6点与O点的距离是多少厘米?
【分析与解】 如右图所示,当智能机器猫到达A6点时,相对 O点,向东走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米．
2有OA6=36+48,即OA=60．
2
2
2
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所以,A6点到O点的距离为60厘米．
4.如图32-3所示,直角三角形PQR的两个直角边分别为5厘米,9厘米问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少?
【分析与解】 如右图,延长AR,DQ,过E,F分别作AR,DQ的平行线,在正方形EFRQ内交成四个全等的直角三角形和一个小正方形GHMN，四个全等的直角三角形面积之和与四个白色的三角形面积之和相等．
小正方形HGNM的边长为9-5=4厘米,所以面积为16平方厘米,而另 外两个正方形ABPR、CDQR他的面积分别为25,81．所以原图中3个正方 形面积之和比4个三角形面积之和大25+8l+16=122平方厘米．
6.若把边长为1的正方形ABCD的四个角剪掉,得一四边形A1BlClDl,试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原来正方形面积的
5,请说明理由.(写出证明及计算过程) 9【分析与解】如左图所示,我们知道利用弦图,可是弦图怎么利用?设构造出的弦图中最小正方形的面积为x最大正方形面积为1,那么有剩下的正方形面
151(x+1)=,所以x=. 2991那么,最小正方形的边长为.由于是四角对称的剪
312去,所以有ADl=DCl=CBl=BA1=,AAl=BBl=CCl=DDl=
33积为
证明及计算过程略．
8.有5个长方形,它们的长和宽都是整数,且5个长和5个宽恰好是1～10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形,那么,大正方形面积的最小值为多少?
【分析与解】 注意到,5个长、宽均不相等的长方形拼成一个正方形,只有一种拼法.(如右图所示，由弦图联想到)．
A、B、C、D中必有一个长方形的一边长为10,不妨设为A， 那么显然不能组成边长为10的正方形；
如果能够组成边长为11的正方形,那么有11=10+1=9+2=8+3=7+4=6+5,那么大正方形的四边必须是为11,则剩下的两个数,它们的和为11,为中问阴影部分的长、宽和；
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评注:如果能够组成边长为12的正方形,那么有12=10+2=9+3=8+4=7+5,剩下1、6试填不满足． 对于边长为13的正方形,注意到13=10+3=9+4=8+5=7+6,剩下1、2,有见下图情形,满足．
10.园林小路,曲径通幽.如图32-7所示,小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成.问：内圈三角形石板的总面积大,还是外圈三角形的总面积大?请说明理由．
【分析与解】如图①,我们任意抽出两块相邻的白色正方形石板,及它们所夹成的青、红两色的三角形石
0
板，如图②所示.图中有∠CDB+∠ADG=180.
0
如果③,将△CDE逆时针旋转90,得△C?DG.有A、D、C?在同一条直线上,且△C?DG与△ADG等底同高,所以有S?C?DG?S?ADG?S?CDE.
也就是说,任意两块相邻的白色正方形石板,它们所夹成的青色三角形与红色三角形面积相等．
注意到在原图中,除了外圈青色的两块三角形外,外圈三角形、内圈三角形一一对应.所以原图中,外圈三角形的面积大于内圈三角形的面积,如图①所示．
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第33讲 计数综合2
内容概述
利用对应法求解的计数问题.所谓对应法,即建立起所考察对象和另一类对象之间的对应关系,通过对后者的计数而求得问题的答案.与平面和立体图形相关的复杂计数问题,其他具有相当难度的计数综合题．
典型问题
2. 小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?
[分析与解] 我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块糖分成了两部分．
我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,?，
如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：
○○○○|○○○|○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．
不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独
9
立，故共有2=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法．
4. 在8×8的方格表中,取出一个如图33-1所示的由3个小方格组成的“L”形,一共有多少种不同的方法?
【分析与解】 观察发现,对于每个“L”形,都有一个点M与其对应,而每个2×2的方格中,M点都对应4个不同的“L”.
在8×8的方格中,类似M点的交叉点有7×7=49个(不包括边上的交叉点)．所以共有“L”形4×49=196种不同的取法．
评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数
．
6.有一批规格相同的均匀圆棒,每根划分成相同的5节,每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂.问可以得到多少种着色方式不同的圆棒?
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