Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD作L的对称图形.如下：

4.如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．

【分析与解】 因为AB=CD,于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐,如下图． 在下图中有∠00

BCA=110,所以∠ACD=70

000

于是∠ACC?=∠ACD+∠DCC?=∠ACD+∠ABC=70+40=110；

0

BCA??是一等 即∠ACC?=110=∠CC?D；又因为C?A?只是CA移动的变化,所以C?A?=CA；则A腰梯形．

000

于是,∠ADC?=180-110=70；

0000

又∠CDC?=30,所以∠ADC=70-30=40.

00

6.如下图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BCD是等腰三角形BD=CD，顶角∠BDC=120,∠MDN=60,求△AMN的周长．

【分析与解】 如下图,延长AC至P,使CP=MB,连接DP.

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则有∠MBD=60+S?ADE0

1800?120011?S正六边形DEQSRT?S?DQR?∠PCD；CP=BM；BD=CD,所以632有△MBD≌△PCD.

00

于是∠MDC=∠PDC；又因为∠MDB+∠NDC=60,所以∠PDC+∠NDC=∠NDP=60；MD=PD 在△MDN、△PND中,∠NDM=∠NDP,ND=ND,MD=PD,于是△MND≌△PND.有MN=PN．

因为NP=NP=NC+CP,而AM=AB-MB=AB-CP,所以AM+AN+MN=(AB-CP)+AN+(NC+CP)=AB+AN+NC=2. 即△AMN的周长为2.

8.下图为半径20厘米、圆心角为144的扇形图.点C、D、E、F、G、H、J是将扇形的B、K弧线分为8等份的点.求阴影部分面积之和．

【分析与解】 如下图,做出辅助线

△KMA与△ANG形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△KMA≌△ANG,S?KMA?S?ANG,而△LMA是两个三角形的公共部分,所以上图中的阴影部分面积相等．

所以,GNMK与扇形KGA的面积相等,那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积．

0

1440540

?200???60?平方厘米． 扇形KGA的圆心角为×3=54,所以扇形面积为3608 那么KGEB的面积为60??2=120?平方厘米．

如下图,做出另一组辅助线．

△JQA与△ARH形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△JQA≌△ARH,S?JQA?S?ARH=5△A,而△PQA是两个三角形的公共部分,所以右图中的阴影部分面积相等．

所以,JHRQ与扇形JHA的面积相等,那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积．

144018?202???20?平方厘米． ?1800,所以扇形面积为 扇形JHA的圆心角为

3608Page 62 of 82

那么JHDC的面积为20??2?40?平方厘米． 所以,原题图中阴影部分面积为

SKGEB?SJHDC?120??40??80?≈80×3.14=251.2平方厘米．

第32讲勾股定理

内容概述

1.勾股定理(毕达哥拉斯定理):直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．

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公元前500年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺．

2. 公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五．

三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实．

汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦．

句股各自乘，并，而开方除之，即弦．

中国科学院数学与系统科学研究院的徽标(右图所示)采用的就是赵爽 的弦图.2002年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图．

如下,在弦图中有S四边形EFGH?

3. 伽菲尔德证法:美国第20任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣,在还是中学教师时曾给出一种勾股定理的证明方法：

梯形面积=

1S矩形ABCD?S矩形MNPQS?C?DG?S?ADG?S?CDE 2??1(上底＋下底)×高 2Page 64 of 82