【分析与解】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG．

设△AEG的面积为x，显然△EBG、△BFG、△FCG的面积均为x，则△ABF的面积为3x，

1100400?20?10?100即x?，那么正方形内空白部分的面积为4x?. 所以原题中阴233400800?影部分面积为20?20? (平方厘米)． 33S?ABF?

12．如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1．求阴影部分的

面积．

【分析与解】 如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等．我们把左下图中的每一部分阴影称为A，右下图中的每一部分阴影称为B．

大半圆的面积为3A?3B?3

119?小圆的面积??32???. 222

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而小圆的面积为?，则A?B??1???9??3???3?，

2?3?2原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为

?2??5?? 36

14.如图30-14，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD边扫过部分的面积．(?取3.14)

【分析与解】 如下图所示，

如下图所示，端点A扫过的轨迹为AA??A?，端点D扫过轨迹为DD??D?，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD，A?D?所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分．

显然有阴影部分面积为S直角?A?D?C?S扇形ACA??S直角?ACD?S扇形CD?D,而直角三角形A?D?C、ACD面积相等．

所以

S直角?A?D?C?S扇形ACA??S直角?ACD?S扇形CD?D=S扇形ACA??S扇形CD?D=90?90??9AC2?CD2?(52?42)???7.065(平方厘米) 36036044

即AD边扫过部分的面积为7．065平方厘米．

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第31讲图形变换

内容概述

本讲将涉及到图形的对称、平移、旋转、割补及其他等积变换,下面我们就汶些变换的预备知识及变换本身进行学习和探讨．

1.三角形ABC与A?B?C?,如果它们的对应边成比例,即

ABBCCA???K,我们就称它们相A?B?B?C?C?A?似，记作△ABC～△A?B?C?.

这个比值K叫做两个三角形的相似系数(注意三角形的先后顺序),如果相似系数为1，就称这两个三角形全等,记作△ABC≌△A?B?C?.

如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似；

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如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似；

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似．

(以上3条判定定理中,如果含有边的比例的关系,而其中的比例系数为l,则这两个三角形全等．)

2.两条直线平行,则：

反之,如果知道上面某种情况的成立,则那两条直线平行． 3.两个相似三角形的面积比值为相似系数的平方．

典型问题

2.四边形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知∠ABD+∠BDC=90,求四边形ABCD的面积．

【分析与解】 如下图,以BD的垂直平分线为对称轴L,做△ABD关于L的对称图形△A?BD.连接A?C．

00,0

因为∠ABD+∠BDC=900而∠ABD=∠A?DB=90所以有∠A?DB+∠BDC=90．

222 那么A?CD为直角三角形,由勾股定理知A?C?AB?CD=2500,所以A?C?50.

0

而在△A?BC中,有A?B=AD=48,有48+14=2500,即A?B+BC=A?C,即△A?BC为直角三角形．

2

2

2

2

2

有S?A?CD?S?A?BC?30?40?11?14?48??936. 22而|S四边形ABCD?S?A?CD?S?A?BC?936.

评注:Ⅰ.本题以∠ABC+∠BDC=90突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形.这样面积就

很好解决了．

0

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