14.已知m，n，k为自然数，m?n?k，n2+2-2是100的倍数,求m+n - k后的最小值． 【分析与解】方法一：首先注意到100=2×5．

m

如果n=k，那么2是100的倍数，因而是5的倍数，这是不可能的．所以n-k?1.

2

2

mnk 2m+2n-2k=2k(2m-k+2n-k+1)被22整除,所以k?2.

设a=m-k，b=n-k，则a?b，且都是整数． ab2

2+2-1被5整除，要求a+b+k=m+n-k的最小值．

101

不难看出2+2-1=1025，能被25整除，所以a+b+k的最小值小于10+l+2=13． 而且在a=10，b=1，k=2时，上式等号成立．

ab

还需证明在a+b?10时，2+2-l不可能被25整除． 有下表

a 9 1 8 1,2 7 1,2,3 6 1,2,3,4 5 1,2,3,4,5 4 1,2,3,4 b

a?3时，2a+2b-1<8+8=16不能被52整除．其他表中情况，不难逐一检验，均不满足2a+2b-1被25整

除的要求．

因此a+b-k即m+n-k的最小值是13．

方法二：注意到有100=2×2×5×5，4∣(2m+2n-2k)．

2m+2n-2k=2k(2m-k+2n-k-1)因为2m-k+2n-k-l,所以k最小为2．

还有2∣(2xy5

m-k+2n-k-1)，令m-k=x, n-k=y

则有2+2≡l(mod 25)

因为5去除2，22，23，24，25余数分别为2，4，3，1，2；余数是4个一周期.于是，x=4p+2，y=4q+1；

或者是x=4P+3，y=4Q+3． (1)x=4p+2，y=4q+1时

mnk 当x=2，y=1，于是2+2-2=24+23-22=20不是100的倍数；

mnk 当x=6，y=l，于是2+2-2=28+23-22=260不是100的倍数；

mnk 当x=10，y=l，于是2+2-2=212+23-22=4100是 l00的倍数；

(2)x=4P+3，y=4Q+3

mnk 当x=3，y=3，于是2+2-2=25+25-22=60不是l00的倍数；

mnk 当x=7，y=3，于是2+2-2=29+25-22=540不是l00的倍数：

其余的将超过(1)种情况，所以，最小为m+n-k=12+3-2=13．

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第29讲数论综合4

内容概述

主要是“小升初”综合素质测试中较难的数论问题．

1．任意选取9个连续的正整数，即它们的乘积为P，最小公倍数为Q．我们知道，P除以Q所得到的商必定是自然数，那么这个商的最大可能值是多少?

【分析与解】 将9个连续的正整数作因式分解，如果某个质数是其中至少两个分解式的因子，那么次数最高的那个方幂会包含在最小公倍数Q中，而其他方幂的乘积则出现在P除以Q的商中．显然这样的质数必定小于9，只可能是2，3，5或7．

记P÷Q=R，则R的质因数必定取自2，3，5，7．

两个不同的7的倍数至少相差7，因此在9个连续正整数中，最多有两个数含有质因数7．当有两个数是7的倍数是，可能它们都不能被7×7整除，也可能其中一个数是7×7的倍数，而另一个不是．于是R的质因数分解式中7的幂次最高是1．

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类似的分析，R中最多包含一个质因数5．

在9个连续的正整数中，恰有3个数是3的倍数，其中一个数能被9整除，而另一两个数仅能被3整除，因此R中所包含的质因数3的幂次必定为2．

在9个连续的正整数中，最多有5个数是偶数．此时，除去含有2的幂次最高的数外，其余的4的数含有质因数2最多的情形是：其中有2个仅为2的倍数，有1个是4的倍数，另一个是8的倍数．即R的质因数分解式中2的幂次最多是1+1+2+3=7．

72

综上所述，R的最大值是2×3×5×7=40320．事实上，对于9个连续正整数560，561，?，568，P除以Q所得到的商恰是40320．

2．老师在黑板上依次写了三个数21、7、8，现在进行如下的操作，每次将这三个数中的某些数加上2，其他数减去1，试问能否经过若干次这样的操作后，使得： (1)三个数都变成12？ (2)三个数变成23、15、19？ 【分析与解】 如果两个数都加上2，那么它们的差不变；如果两个数都减去1，那么它们的差也不变； 如果一个数加上2，一个数减去1，那么它们的差增大或减小3．所以，不管怎样，它们的差增大或减小3的倍数．也就是说，不管怎么操作，这两个数的差除以3的余数是不变的．

21与7的差除以3的余数为2；21与8的差除以3的余数为1；7与8的差除以3的余数为1． （1)三个数都变成12，那么它们的差除以3的余数都是0，显然与开始给出的三个数之间差的余数有变化，所以不满足；

(2)三个数变成23、15、19，它们之间差除以3的余数依次为： 23与15的差除以3的余数为2； 23与19的差除以3的余数为1； 15与19的差除以3的余数为1．也就是说与开始给出的三个数之间差的余数没变化，所以满足．

3．对于n个奇质数，如果其中任意奇数个数的和仍是质数，那么称这些数构成“奇妙数组”，而n就是这个数组的“阶数”．例如11，13，17就是“奇妙数组”，因为11，13，17和11+13+17=41都是质数．

(1)证明：“奇妙数组”的“阶数”最大值为4；

(2)对于“阶数”为4的“奇妙数组”，求这4个质数的乘积的最小值．

【分析与解】 (1)假设a、b、c、d、e能组成一个5阶“奇妙数组”，那么a、b、c、d一定可以组成一个四阶“奇妙数组”，考虑除以3的余数情况，不能存在3的数它们除以3的余数相同，并且验证只能是1，1，2，2．则e除以3不管是余0，1，2都能在这五个数中找到三个数，它们的和是3的倍数，且大于3，所以无法组成5阶“奇妙数组”．但是如97，73，4l，53满足(它们的三个数和依次为167，191，223，2ll均是质数)．所以存在最大的4阶“奇妙数组”．

(2)写出所有除以3余1的质数：7，13，19，31，37，43，61，67，73，79，97； 写出所有除以3余2的质数：(2，5)，11，17，23，29，41，47，53，59，71，83，89．

很容易知道2是不能含有，不然其他两个奇质数与2的和为大于2的偶数，显然不是质数，5也很容易验证不满足；

有7，13，11，23满足(和依次为47，4l，43，31)．它们的乘积为7×13×11×23=23023．所以4阶“奇妙数组”的4个数最小乘积为23023．

评注：四阶的“奇妙数组”还有很多，如97，13，41，53．它们的三个数和依次为107，191，163， 151均是质数．

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第30讲几何综合2

内容概述

勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系．与上述知识相关的几何计算问题．各种具有相当难度的几何综合题．

典型问题

2．如图30-2，已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?

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