所以，首位为5．

评注：若原为n进制的数，转化为n进制，则从右往左数每k个数一组化为n进制． 如：2进制转化为8进制，2=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制． 10 100 001 101 2进制 2 4 1 5 8进制 (10100001101)2=(2415)8．

3．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少? 【分析与解】 (abc)6=a×6＋b×6+c=36a+6b+c；

2

kk3 (cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a．

所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；

因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1． 所以，b=0或5．

①当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a=16，c=7： 但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．

②当b=5，则35a=3×5+80c；则7a=3+16c；mod 7后，3+2c≡0

所以c=2或者2+7k(k为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2． 于是，35a=15+80×2；a=5．

于是(abc)6 =(552)6=5×6+5×6+2=212．

2

所以．这个三位数在十进制中为212．

4．设1987可以在b进制中写成三位数xyz，且x?y?z=1+9+8+7，试确定出所有可能的x、y、z及

b．

?(xyz)b?b2x?by?z?1987①【分析与解】 我们注意??x?y?z?1?9?8?7②①-②得：(b-1)x+(b-1)y=1987-25． 则(b-1)(b+1)x+(b-1)y=1962， 即(b-1)[(b+1)x+y]=1962． 所以，1962是(b-1)的倍数． 1962=2×9×109：

当b-1=9时，b=10，显然不满足；

2

当b-1=18时，b=19，则（b-1)[(b+1)x+y]=18×(20x+y)=1962；则20x+y=109，

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?b=19?x?5?x?5?x?4?所以，? ,?(不满足),......则?y?9y?29y?9?????z?11 显然，当b=109不满足，b=2×109不满足，当b=9×109也不满足．

于是为(59B)19=(1987)10，B代表11．

5．下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A、B、C、D的和为多少? 【分析与解】

于是，我们知道n=4，所以为4进制，

则 A+B+C+D=3+1+2+0=6．

6. 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18=（10010）2是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数. 【分析与解】 我们现把1024转化为二进制： (1024)10=2=(10000000000)2．

于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况．

10111...10111...1并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如?111...10000...0???????????????????????=????则，

?5个15个或以上0????2????9个1?2?9个1?2??????????????* * * * * * * * * *?可以含2个l，4个1，6个1，8个l，10个1．

10个位置??226810于是为C10 ?C10?C10?C10?C10=

10?910?9?8?710?9?8?7?6?510?9?8?7?6?5?4?3＋＋＋＋1 21?2?3?41?2?3?4?5?61?2?3?4?5?6?7?8=45+210+210+45+1=511

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于是，小于1024的“坏数”有511个.

7．计算：?3?3?3...?3?1?26的余数． ?????2003个3??????【分析与解】

??????1000...?0?1?=?222...23?3?3...?3?1=????????????? ??????????2003个3???2003个3?3?2003个2?326=(222)3所以，?3?3?3...?3?1?÷26=?222...2????÷(222)3 ?????2003个3?????????2003个2???3(222)3整除(222)3，2003÷3：667??2，所以余(22)3=8．

所以余数为8．

8．一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数．老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5，那这样的三位数一共有多少个? 【分析与解】 我们设(3ab)10=(4cd)9=(5ef)8；

我们知道(4cd)9 在(400)9～(488)9之间，也就是4×9～5×9-1，也就是324～406；

2

2

还知道(5ef)8 在(500)8～(577)8之间，也就是5×8～6×8-1，也就是320～383； 又知道(3ab)10 在(300)10～(399)10之间．

所以，这样的三位数应该在324～383之间，于是有383-324+1=60个三位数满足条件.

9. 一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和．

①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天? ②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮．如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天? 【分析与解】 ①我们注意到

每天 1 2 3 4 8 16 32 64 ? 前若干天的和 ?

2<2004<2前1天为1，前2天为2，前3天是2，所以前11天为2，前12天是2,也就是说不够第11天拿的，但是根据题中条件知．所以共需12天.

②

每天 1 1 2 4 8 16

10111

2

22

101132 64 ?

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前若干天的和 改写为2进制 1 1 2 4 8 16 32 64 128 ? 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 ?

2004=(11111010100)2,(10+1)+(9+1)+(8+1)+(7+1)+(6+1)+(4+1)+(2+1)=11+10+9+8+7+5+3=53天．

第27讲 整取问题

内容概述

有时我们只关心某数的整数部分，于是我们就有了取整问题，如在抽屉原理里,在不定方程里等一些数论问题中．

我们规定[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，即为x的小数或真分数部分． 如[3.14]=3，{3.14}=0.14， 显然有{x}<1．

O?{x}+{y}<2(x、y均为整数时等号才成立)．

典型问题

2．求??1981?1??1981?2??1981?2005??1981?2006?的和． ??...?????????2006200620062006????????【分析与解】 我们知道如果直接求解是无法解出的，现在试着观察规律: 最后一项为1981不难得到，再看??1981?1??1981?2005?1981?1?1981?1??1981?1?+?；=?+?? ???2006?2006??2006??2006??2006?1981?2005?1981?2005??1981?2005?=?+?? ?200620062006????所以有

1981?11981?2005?1981?1??1981?1??1981?2005??1981?2005?+=1981=?+?+?? ?+???20062006?2006??2006??2006??2006?Page 44 of 82