f?(c)?f(b)?f(a)。

b?af(b)?f(a)，

b?a唯一性的证明如下：

方法一：利用反证法。假设另外存在一点d?(a,b)，使得f?(d)?又∵

f?(x)在[c,d]（或[d,c]）上连续，在(c,d)（或(d,c)）内可导，

?(a,b)（或ξ?(d,c)?(a,b)），使得f??(ξ)?0，

∴由罗尔中值定理知，至少存在一点ξ?(c,d)这与

f(x)在闭区间[a,b]上满足f??(x)?0矛盾。从而结论成立。

方法二：∵f(x)在闭区间[a,b]上满足f??(x)?0，∴f?(x)在[a,b]单调递增，

从而存在存在唯一的c?(a,b)，使得

★★★17.设函数

f?(c)?f(b)?f(a)。结论成立。

b?ay?f(x)在x?0的某个邻域内具有n阶导数，且

f(0)?f?(0)??f(n?1)(0)?0,试用柯西中值定理证明：

f(x)f(n)(θx)?(0?θ?1)。 nn!x知识点：柯西中值定理。

n思路：对f(x)、g(x)?x在[0,x]上连续使用n次柯西中值定理便可得结论。 n证明：∵f(x)、g(x)?x及其各阶导数在[0,x]上连续，在(0,x)上可导，

(n?1)且在(0,x)每一点处，g(x)?n!x?0，又f(0)?f?(0)??f(n?1)(0)?0,，

∴连续使用n次柯西中值定理得，

f(x)f(x)?f(0)f?(?1)f?(ξ1)?f?(0)?n???xnx?g(0)n?1n?1nξ1n?1?g?(0)f(n)(θx)?(0?θ?1)，从而结论成立。

n!习题3-2

★★1.用洛必达法则求下列极限：

f(n?1)(ξn?1)?f(n?1)(0) ?n!ξn?1?g(n?1)(0)1ln(1?)sinx?sinae?elnsinxx；

（1） lim； （2） lim； （3）lim； （4）lim2πx?ax?0x???arccotxx-asinxx?(π-2x)x?x2lntan7xtanx?xx3?1?lnxlim（5）lim； （6）lim； （7）

x??0lntan2xx?0x-sinxx?1ex?e1； （8）limxcotx?02x；

（9） limxx?02ex2； （10）limx(ex??1x11x1lim(?x)；lim(?)；?1)； （11） （12）x?0xx?1x-1lnxe?1ax1tanxex?ln(1?x)?1sinxx； （15）lim?()； （16）lim（13）lim(1?)； （14）lim；

x??x?0x?0?x?0xxx-arctanx1x1n22x(ln)lim(ntan)。lim(1?sinx)；lim(x?1?x)（17） （18）lim； （19）； （20）

x?0x???x?0?n????xn知识点：洛必达法则。

思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：

1x100型与

?型未定?式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于???型与0??型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于0型、1型与?型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。

0?0ex?e?xex?e?x?lim?2； 解： （1） limx?0x?0sinxcosx （2） limsinx?sinacosx?lim?cosa；

x?ax?ax?a1cosxlnsinxsinx?limcosx?lim?sinx??1；

（3）lim?lim2ππππ88x?(π?2x)x?4(2x?π)x?4(2x?π)x?222211?ln(1?)1?x2x(x?1)x?lim?lim?1； （4）limx???arccotxx???x???x(x?1)1?1?x27sec27xlntan7x7cos22x?tan2xtan7x?lim?lim?1； （5）limx??0lntan2xx??02sec22xx??0tan7x?2cos27xtan2xx3?1?lnx（6）lim?limx?1x?1ex?e3x2?1x?4；

eextanx?xsec2x?12tanxsec2x2?lim?lim?lim?2； （7） limx?0x?sinxx?01?cosxx?0x?0cos3xsinx（8）limxcotx?02x?limx11?lim?；

x?0tan2xx?02sec22x2111（9） limxx?02ex22x21?e23ex2?lim?limx?limex???； x?01x?0x?02?x2x31u?1x2（或解为：limxx?02x2eeueu?lim?lim???） u???uu???11x11?2ex11(e?1)x?lim?limex?1； （10）limx(ex?1)?limx??x??x??x??11?2xx11e1/x?11/xx?lim?1） （或解为：∵当x??时，e?1~，∴limx(e?1)?limx??x??1/xx??1/xx1x11ex?1?x(e?1)~xex?1?xex?11（11）lim(?x)?lim?lim?lim?；

x?0xx?0x?02xe?1x?0x(ex?1)x22x（12）lim(x?1x1xlnx?x?1?)?lim?limx?1x?1x?1lnx(x?1)lnxlnx1?lnx1?lim?； x?1x?1lnx?22lnx?xxlnx?x?1u?x?1(u?1)ln(u?1)?uln(u?1)~u(u?1)ln(u?1)?u?lim?lim（或解为：lim 2x?1(x?1)lnxu?0u?0uln(u?1)u?limln(u?1)1?）

u?02u2alimxln(1?)x??x（13）lim(1?x??ax)?exx?0??elimaln(1?)xlim1x??x?ealimxx??1x?ea；

limtanxsinx?x（14）

x?0limxsinx?e?limsinxlnxlnx?ex?0?cscx?ex?0??xcotxcscxlim1?ex?0??e0?1；

1tanx?lime（15）lim()x?0?xx?0??lnxlim?x?0cotx?lime?x?01xlim2?x?0?cscx??lime?x?0sin2xxx?0?lim?e0?1；

1ex?ln(1?x)?1(1?x2)(xex?ex?1)x?1（16）lim ?lim?limx?0x?0x?01x?arctanx(x?1)x21?1?x2ex?(xex?ex?1)xex1??lim??lim??；

x?0x?02xx22（17）lim(1?sinx)x?01x?limex?0x?0limln(1?sinx)x?limex?0x?01?sinlimcosxx?e；

1x（18）lim(ln)?ex?0?xln[?lnx]lim?1x?0x?e11?(?)?lnxxlim?1x?0?2x?e?limxx?0?lnx?e?lim1x?0?1/x?1；

11?x21?x1?x2（19）

x???lim(x?1?x2)?e12f(x)?(xtan)xx2t2tantlim2t31xln(x?1?x2)x???xlim?ex???limx?1?x2?ex???lim?1；

lntant?lntt2（20）令

lim1x2tantt2t?0?)?e，则lim(xtan)?lim(?x???t?0xtt?1x1

?et?0?limtsec2t?tanttsec2t?tant?et?0??e13t?0?limt?sintcost2t3cos2t?e1t?sin2tlim232tt?0?

?et?0?lim1?cos2t(1?cosx)~6t2??x22e2t?0?6tlim2t2?e

11n2∴lim?(ntan)?e3 n???n★★2.验证极限limx??x?sinx存在，但不能用洛必达法则求出。 x知识点：洛必达法则。

思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决

所有的未定型极限问题。

x?sinxsinxx?sinx?lim(1?)?1?0?1，∴极限lim存在；

x??x??x??xxxx?sinx1?cosx?lim?1?limcosx， 若使用洛必达法则，得limx??x??x??x1解：∵ lim而limcosx??x不存在，所以不能用洛必达法则求出。

★★★3.若

f(x)有二阶导数，证明f??(x)?limh?0f(x?h)?2f(x)?f(x?h)。

h2知识点：导数定义和洛必达法则。

思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于h的导数，然后利用导数定义得结论。