中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3章课后习题详解 下载本文

第3章 中值定理与导数的应用

内容概要

名称 3.1 中值 定理 名称 罗尔中值定理 主要内容(3.1、3.2) 条件 (1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)y?f(x):内可导;(3)结论 至少存在一点ξ?(a,b)使得f(a)?f(b) f/(ξ)?0 至少存在一点拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)y?f(x):内可导 ??(a,b) 使得f/(ξ)?f(b)?f(a)b?af(x)、g(x):(1)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导;(2)在(a,b)内每点处g/至少存在一点ξ?(a,b) 使得(x)?0 f/(ξ)f(b)?f(a)?/b?ag(ξ)3.2 洛必达 法则 基本形式 00型与?型未定式 ?通分或取倒数化为基本形式 0?型或型; 0?0?2)0??型:常用取倒数的手段化为型或型,即: 0?00??0????或0????; 1/?01/0?1)???型:常用通分的手段化为1)0型:取对数得000取对数化为 基本形式 ?e0?ln0,其中0?ln0?0??????; 1/0?00?1/?0或0?ln0?0???2)1型:取对数得1???e??ln1, 00? 1/?0???; 或??ln1???0?1/0?其中??ln1???0?3)?型:取对数得?00?e0?ln?, 00? 1/?0???。 或0?ln??0???1/0?其中0?ln??0???课后习题全解

习题3-1

★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件?如满足,请求出满足定理的数值

?。

(1)

f(x)?2x2?x?3,[?1,1.5];

(2)

f(x)?x3?x,[0,3]。

知识点:罗尔中值定理。

思路:根据罗尔定理的条件和结论,求解方程f/(ξ)?0,得到的根ξ便为所求。

21.5]上连续,在(?1,1.5)内可导,且f(?1)?f(1.5)?0,解:(1)∵f(x)?2x?x?3在[?1,

ξ?1?0得f(x)?2x2?x?3在[?1,1.5]上满足罗尔定理的条件。令f?(ξ)?41?(?1,1.5)即为所求。 4ξ? (2)∵ ∴

f(x)?x3?x在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)?f(3)?0, f(x)?x3?x在[0,3]上满足罗尔定理的条件。令

ξ?0,得ξ?2?(0,3)即为所求。

23?ξf?(ξ)?3?ξ?★2.验证拉格朗日中值定理对函数

y?4x3?5x2?x?2在区间[0,1]上的正确性。

知识点:拉格朗日中值定理。

思路:根据拉格朗日中值定理的条件和结论,求解方程f?(ξ)?可验证定理的正确性。

f(1)?f(0)1]则,若得到的根ξ?[0,1?0321]连续,在(0,1)内可导,∴y?4x?5x?x?2在解:∵y?f(x)?4x?5x?x?2在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件。又区间[0,f?(?)?32f(1)??2,f(0)??2,f?(x)?12x2?10x?1,

∴要使

f(1)?f(0)5?13?0,只要:???(0,1),

1?012∴???f(1)?f(0)5?13?(0,1),使f?(ξ)?,验证完毕。

1?012★3.已知函数

f(x)?x4在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件,试求满足定理的ξ。

解:要使

的?。

f(2)?f(1)15153f?(ξ)?,只要4ξ?15???,从而ξ??(1,2)即为满足定理

2?14433★★4.试证明对函数

y?px2?qx?r应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。

证明:不妨设所讨论的区间为[a,b],则函数y?px2?qx?r在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,从

而有

f(b)?f(a)(pb2?qb?r)?(pa2?qa?r)f?(ξ)?,即2ξ?q?,

b?ab?a解得ξ?b?a,结论成立。 2★5.函数

f(x)?x3与g(x)?x2?1在区间[1,2]上是否满足柯西定理的所有条件?如满足,请求出满

足定理的数值ξ。

知识点:柯西中值定理。

思路:根据柯西中值定理的条件和结论,求解方程

f?(ξ)f(b)?f(a)?,得到的根ξg?(ξ)g(b)?g(a)便为所求。

解:∵f(x)?x及g(x)?x?1在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且在(1,2)内的每一点处有

32g?(x)?2x?0,所以满足柯西中值定理的条件。要使

得ξf?(ξ)f(2)?f(1)3ξ27?,只要?,解

g?(ξ)g(2)?g(1)2ξ3?14?(1,2), ξ9即为满足定理的数值。

★★★6.设

f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)?0。求证:

存在ξ?(0,1),使f?(ξ)??f(ξ)。 ξ知识点:罗尔中值定理的应用。 思路:从f(ξ)??/f(ξ)ξ结论出发,变形为

f/(ξ)ξ?f(ξ)?0,构造辅助函数使其导函数为

f/(x)x?f(x), 然后再利用罗尔中值定理,便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常

用的方法。

证明:构造辅助函数F(x)?xf(x),F?(x)?f(x)?xf?(x)

根据题意F(x)?xf(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(1)?1?f(1)?0,

F(0)?0?f(0)?0,从而由罗尔中值定理得:存在ξ?(0,1),使 F?(ξ)?f?(ξ)ξ?f(ξ)?0,即f?(ξ)??f(ξ)ξ。 注:辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推,如:要使f?(x)??f(x)x,只要

f?(x)f(x)??1x?[lnf(x?)?]?[lx?n?][xlfnx??()?][x0f(x?)xf(x)?]? ∴只要设辅助函数F(x)?xf(x)

★★7.若函数

f(x)在(a,b)内具有二阶导函数,且f(x1)?f(x2)?f(x3)

(a?x1?x2?x3?b),证明:在(x1,x3)内至少有一点ξ,使得f??(ξ)?0。

知识点:罗尔中值定理的应用。 思路:连续两次使用罗尔中值定理。

证明:∵ f(x)在(a,b)内具有二阶导函数,∴f(x)在[x1,x2]、[x2,x3]内连续,

在(x1,x2)、(x2,x3)内可导,又

f(x1)?f(x2)?f(x3),

∴由罗尔定理,至少有一点ξ1?(x1,x2)、ξ2?(x2,x3),

使得

f?(ξ1)?0、f?(ξ2)?0;又f?(x)在[ξ1,ξ2]上连续,在(ξ1,ξ2)内可导,

从而由罗尔中值定理,至少有一点ξ?(ξ1,ξ2)?(x1,x3),使得f??(ξ)?0。

★★8.若4次方程

a40x?a21x3?a2x?a3x?a4?0有4个不同的实根,证明:

4a30x?3a1x2?2a2x?a3?0

的所有根皆为实根。

知识点:罗尔中值定理的应用。

思路:讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。 证明:令f(x)?a0x4?a1x3?a22x?a3x?a4

则由题意,

f(x)有4个不同的实数零点,分别设为x1,x2,x3,x4,

0xf?x[? ()]0