第3章 中值定理与导数的应用

内容概要

名称 3.1 中值 定理 名称 罗尔中值定理 主要内容（3.1、3.2） 条件 （1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)y?f(x)：内可导；（3）结论 至少存在一点ξ?(a,b)使得f(a)?f(b) f/(ξ)?0 至少存在一点拉格朗日中值定理 柯西中值定理 （1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)y?f(x)：内可导 ??(a,b) 使得f/(ξ)?f(b)?f(a)b?af(x)、g(x)：（1）在[a,b]上连续，在(a,b)内可导；（2）在(a,b)内每点处g/至少存在一点ξ?(a,b) 使得(x)?0 f/(ξ)f(b)?f(a)?/b?ag(ξ)3.2 洛必达 法则 基本形式 00型与?型未定式 ?通分或取倒数化为基本形式 0?型或型； 0?0?2）0??型：常用取倒数的手段化为型或型，即： 0?00??0????或0????； 1/?01/0?1）???型：常用通分的手段化为1）0型：取对数得000取对数化为 基本形式 ?e0?ln0，其中0?ln0?0??????； 1/0?00?1/?0或0?ln0?0???2）1型：取对数得1???e??ln1， 00? 1/?0???； 或??ln1???0?1/0?其中??ln1???0?3）?型：取对数得?00?e0?ln?， 00? 1/?0???。 或0?ln??0???1/0?其中0?ln??0???课后习题全解

习题3-1

★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值

?。

（1）

f(x)?2x2?x?3,[?1,1.5]；

（2）

f(x)?x3?x,[0,3]。

知识点：罗尔中值定理。

思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程f/(ξ)?0，得到的根ξ便为所求。

21.5]上连续，在(?1,1.5)内可导，且f(?1)?f(1.5)?0，解：（1）∵f(x)?2x?x?3在[?1,

∴

ξ?1?0得f(x)?2x2?x?3在[?1,1.5]上满足罗尔定理的条件。令f?(ξ)?41?(?1,1.5)即为所求。 4ξ? （2）∵ ∴

f(x)?x3?x在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)?f(3)?0， f(x)?x3?x在[0,3]上满足罗尔定理的条件。令

ξ?0，得ξ?2?(0,3)即为所求。

23?ξf?(ξ)?3?ξ?★2.验证拉格朗日中值定理对函数

y?4x3?5x2?x?2在区间[0,1]上的正确性。

知识点：拉格朗日中值定理。

思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程f?(ξ)?可验证定理的正确性。

f(1)?f(0)1]则，若得到的根ξ?[0,1?0321]连续，在(0,1)内可导，∴y?4x?5x?x?2在解：∵y?f(x)?4x?5x?x?2在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件。又区间[0,f?(?)?32f(1)??2,f(0)??2，f?(x)?12x2?10x?1，

∴要使

f(1)?f(0)5?13?0，只要：???(0,1)，

1?012∴???f(1)?f(0)5?13?(0,1)，使f?(ξ)?，验证完毕。

1?012★3.已知函数

f(x)?x4在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。

解：要使

的?。

f(2)?f(1)15153f?(ξ)?，只要4ξ?15???，从而ξ??(1,2)即为满足定理

2?14433★★4.试证明对函数

y?px2?qx?r应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。

证明：不妨设所讨论的区间为[a,b]，则函数y?px2?qx?r在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，从

而有

f(b)?f(a)(pb2?qb?r)?(pa2?qa?r)f?(ξ)?，即2ξ?q?，

b?ab?a解得ξ?b?a，结论成立。 2★5.函数

f(x)?x3与g(x)?x2?1在区间[1,2]上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满

足定理的数值ξ。

知识点：柯西中值定理。

思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程

f?(ξ)f(b)?f(a)?，得到的根ξg?(ξ)g(b)?g(a)便为所求。

解：∵f(x)?x及g(x)?x?1在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且在(1,2)内的每一点处有

32g?(x)?2x?0，所以满足柯西中值定理的条件。要使

得ξf?(ξ)f(2)?f(1)3ξ27?，只要?，解

g?(ξ)g(2)?g(1)2ξ3?14?(1,2)， ξ9即为满足定理的数值。

★★★6.设

f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)?0。求证：

存在ξ?(0,1)，使f?(ξ)??f(ξ)。 ξ知识点：罗尔中值定理的应用。 思路：从f(ξ)??/f(ξ)ξ结论出发，变形为

f/(ξ)ξ?f(ξ)?0，构造辅助函数使其导函数为

f/(x)x?f(x)， 然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常

用的方法。

证明：构造辅助函数F(x)?xf(x)，F?(x)?f(x)?xf?(x)

根据题意F(x)?xf(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且F(1)?1?f(1)?0，

F(0)?0?f(0)?0，从而由罗尔中值定理得：存在ξ?(0,1)，使 F?(ξ)?f?(ξ)ξ?f(ξ)?0，即f?(ξ)??f(ξ)ξ。 注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使f?(x)??f(x)x，只要

f?(x)f(x)??1x?[lnf(x?)?]?[lx?n?][xlfnx??()?][x0f(x?)xf(x)?]? ∴只要设辅助函数F(x)?xf(x)

★★7.若函数

f(x)在(a,b)内具有二阶导函数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)

(a?x1?x2?x3?b)，证明：在(x1,x3)内至少有一点ξ，使得f??(ξ)?0。

知识点：罗尔中值定理的应用。 思路：连续两次使用罗尔中值定理。

证明：∵ f(x)在(a,b)内具有二阶导函数，∴f(x)在[x1,x2]、[x2,x3]内连续，

在(x1,x2)、(x2,x3)内可导，又

f(x1)?f(x2)?f(x3)，

∴由罗尔定理，至少有一点ξ1?(x1,x2)、ξ2?(x2,x3)，

使得

f?(ξ1)?0、f?(ξ2)?0；又f?(x)在[ξ1,ξ2]上连续，在(ξ1,ξ2)内可导，

从而由罗尔中值定理，至少有一点ξ?(ξ1,ξ2)?(x1,x3)，使得f??(ξ)?0。

★★8.若4次方程

a40x?a21x3?a2x?a3x?a4?0有4个不同的实根，证明：

4a30x?3a1x2?2a2x?a3?0

的所有根皆为实根。

知识点：罗尔中值定理的应用。

思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。 证明：令f(x)?a0x4?a1x3?a22x?a3x?a4

则由题意，

f(x)有4个不同的实数零点，分别设为x1,x2,x3,x4，

0xf?x[? ()]0