浦东新区2014学年度第一学期期末质量测试

高三数学参考答案及评分标准

一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，

否则一律得零分. 1．x?0； 2．1?i； 3．(??,5)； 4．2； 5．(?1,1)； 6．6； 7．8．1； 9．24； 10．(?1,2)； 11．arccos

二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项

是正确的，选对得 3分，否则一律得零分. 13．(A) ； 14．(C)； 15．(C)； 16．(B)； 17．(D)； 18．(A)； 19．(C)； 20．(D)； 21．(A)； 22．(D)； 23．(B)；24．(A).

三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 25．（本题满分7分）

解：集合A?(?1,1)，……………………………………………………………………3分

因为B?A，所以 ??； 32（arctan7）； 12．（1）、（2）、（3）. 4即a???1,0?. ………………………………………………………………………7分 26．（本题满分8分）

解：因为|OA|?1，所以弧AB长为2?，……………………………………………2分

又因为?BSA??a??1，??1?a?0.…………………………………6分

a?1?1?2?2?，则有SA??2?，所以SA?3．……………………4分 33在Rt?SOA中，|OA|?1.h?SO?所以圆锥的体积V?

27．（本题满分8分）

SA2?OA2?22， …………………6分

1222?rh??． ………………………………………8分 33?y2?2px1?2解：OA的方程为：y?x. 由? 得x?8px?0， 12?y?x?2所以A(8p,4p)，……………………………………………………………………3分

由AF?17，可求得p?2.………………………………………………………5分 所以A(16,8)，AO中点M(8,4).…………………………………………………6分 所以OA的垂直平分线的方程为：2x?y?20?0.………………………………8分

28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)

uuuruuuruuuruuurAA解：（1）由b?c. 又AB?AD?2AB?AC. 得b?(bcos)cos?2bc?cosA………2分

22A?cos2?2cosA…………………………………………………………………4分

21?cosA1?2cosA. ?cosA?. ……………………………………………6分 23uuuruuuruuuruuur1（2）由AB?AD?mAB?AC. 得cosA?；…………………………………8分

2m?1b2?c2?a22b2?a2111?a?又cosA?=(,)，…………………10分 ?1????2bc322b22?b?1113所以?(,)，?m?(,2).……………………………………………12分

2m?132229．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）

2bna1?2，bn?1?n?2，bn?1?an?1??(bn?an)，

2221即数列{bn?an}是首项为2，公比为?的等比数列，

21所以bn?an?2?(?)n?1.…………………………………………………………3分

211 an?1?bn?1?(an?bn)?4，an?1?bn?1?8?(an?bn?8)，a1?b1?8?0，

22所以，当n?N*时，an?bn?8?0，即an?bn?8.…………………………6分

解：（1）因为an?1??an?bn?81n?121n? （2）由?1n?1 得bn?4?(?)，Sn?4n?[1?(?)]，

bn?an?2?(?)232??22p12p1 p(Sn?4n)?[1?(?)n]，1?[1?(?)n]?3，

323212p31因为1?(?)n?0，所以.………………………8分 ??11231?(?)n1?(?)n2211 当n为奇数时，随n的增大而增大， ?1n1n1?(?)1?()222p312p3且，1??2，?p?3；………………………10分 ??13231?(1)n1?()n2211 当n为偶数时，随n的增大而减小， ?1n1n1?(?)1?()2242p912p3且，??3，2?p?. ??1231?(1)n331?()n22综上，2?p?3.…………………………………………………………………13分

30．（本题满分8分）

解：因为AB与地面所成的角的大小为60，AH垂直于地面，BM是地面上的直线，

所以?ABH?60,?ABM?60.

???ABBMAM??,…………………………………………………………2分

sinMsinAsinBAB?BMsinM?sinAsinM?sin?B?M?∴ ??AMsinBsinBsinM?sinBcosM?cosBsinM1?cosB??sinM?cosM

sinBsinBB2cos22sinM?cosM?cotBsinM?cosM……………………………4分 ?sinB2?cot30sinM?cosM?3sinM?cosM?2sin(M?30).……………6分

∵

AB?BM达到最大值，

AM此时点M在BH延长线上，BH?HM处.……………………………………8分

当?M??B?60时，

?31．(满分10分，第1小题4分、第2小题6分) 解：（1）方法一（作商比较）：

显然f(x)?0，f(x?y)?0，

f(x?y)sin(x?y)xxsinxcosy?xcosxsiny???. ………1分

f(x)x?ysinxxsinx?ysinx0?cosy?1?因为??0?xsinxcosy?xsinx.……………………………2分

xsinx?0?0?siny?y?又??0?xcosxsiny?ysinx.……3分 0?x?tanx?0?xcosx?sinx?所以0?xsinxcosy?xcosxsiny?xsinx?ysinx. f(x?y)?1?f(x?y)?f(x).…………………………………………4分 即

f(x)于是

方法二（作差比较）：

0?cosy?1???xsinx(cosy?1)?0.…………………………………1分

xsinx?0?0?siny?y?又??xcosxsiny?ysinx?0.……2分 0?x?tanx?0?xcosx?sinx?xsin(x?y)?(x?y)sinxf(x?y)?f(x)?

(x?y)xxsinx(cosy?1)?(xcosxsiny?ysinx)??0.

(x?y)x即f(x?y)?f(x).………………………………………………………………4分

?x1（2）结论①正确，因0?x?.?0?sinx?x?tanx?1?. ?2sinxcosx?cosx?f(x)?1.………………………………6分

因为

x2x4x6x8x10结论②错误，举反例: 设g(x)?1?.（利用计算器）????3!5!7!9!11!f(0.5)?g(0.5)?3.309313576?10?14?0等………………………………8分

（f(0.6)?g(0.6)?3.493766163?10?13?0，

f(1)?g(1)?1.598273549?10?10?0，

f(0.7)?g(0.7)?0,f(0.8)?f(0.8)?0,f(0.9)?g(0.9)?0均可）.

sinx?结论③正确，由f(x?y)?f(x)知f(x)?在区间(0,]上是减函数.

x2

?2所以f(x)?f()?f(x)?，又f(x)?1，

2?sinx2所以f(x)?的值域为[,1).

x??2要使不等式f(x)?k在(0,]有解，只要k?即可.………………………10分

2?

32．(满分12分，第1小题5分、第2小题7分)