【解答】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H， 由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°， ∴AB=DH=1.5，BD=AH=6， 在Rt△ACH中，tan∠CAH=∴CH=AH?tan∠CAH，

∴CH=AH?tan∠CAH=6tan30°=6×∵DH=1.5， ∴CD=2

+1.5，

=2

（米），

，

在Rt△CDE中，

∵∠CED=60°，sin∠CED=∴CE=

=4+

，

≈5.7（米），

答：拉线CE的长约为5.7米．

27．（10分）在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直

角顶点O放在斜边AC上，三角板的两直角边分别交直线AB、BC于E、F两点．

（1）如图①，若O为AC的中点，点E、F分别在边AB、BC上． ①当△OFC是等腰直角三角形时，∠FOC= 90°或45° ； ②求证：OE=OF；

（2）如图②，若AO：AC=1：4时，OE和OF有怎样的数量关系？证明你发现的结论．

【解答】（1）①解：当OF=OC，∠C=∠OFC=45°，∴∠FOC=90°．当FC=FO时，∠FOC=∠C=45°， 故答案为90°或45°．

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②证明：如图①中，连接OB．

∵BA=BC，∠ABC=90°，OA=OC，

∴OB=OA=OC，∠ABO=∠C=45°，OB⊥AC， ∴∠EOF=∠BOC=90°， ∴∠EOB=∠FOC， ∴△BOE≌△COF， ∴OE=OF．

（2）解：结论：OF=3OE．理由如下：

作OM⊥BC于M，ON⊥AB于N． ∵∠ANO=∠ABC=90°，

∴ON∥BC， ∴∠AON=∠C， ∵∠ANO=∠OMC， ∴△ANO∽△OMC， ∴

=

，

∴OA：AC=1：4， ∴OA：OC=1：3， ∴ON：OM=1：3， ∵∠MON=∠EOF， ∴∠EON=∠MON， ∵∠ONE=∠OMF， ∴△ONE∽△OMF， ∴

28．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A、B两点，点A在点B的左侧．

（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），是否存在实数k使得直线y=kx+1与以O、C为直径的圆相切？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

=

=

【解答】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1． 联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1， 解得：x=﹣1或x=2，

当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3， ∴A（﹣1，0），B（2，3）．

（2）设P（x，x2﹣1）．

如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．

∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．

S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF ∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+当x=时，yP=x2﹣1=﹣． ∴△ABP面积最大值为

，此时点P坐标为（，﹣）．

（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F， 则E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1． 在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF=

=

．

令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1． ∴C（﹣k，0），OC=k．

Ⅰ、设直线y=kx+1与以O、C为直径的圆相切的切点为Q，如答图3所示，

则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．