3?413?41x2(x?3)2??1，化简得x2?3x?8?0，∴x1?，x2?，

222525所以线段AB的长度是|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?16)(x1?x2)2 25?414141?41?，即所截线段的长度是． 2555 18．（本小题满分12分） 叙述并证明余弦定理．

【分析思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识学习和巩固． 【解】叙述:

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有

a2?b2?c2?2bccosA， b2?c2?a2?2cacosB， c2?a2?b2?2abcosC.

uuuruuuruuuruuuruuur证明：（证法一） 如图，c?BC ?AC?AB?AC?AB

2????r2uuuruuuruuur2uuur2uuuruuuruuur2uuu ?AC?2AC?AB?AB?AC?2AC?ABcosA?AB

?b?2bccosA?c

即 a?b?c?2bccosA 同理可证 b?c?a?2cacosB， c?a?b?2abcosC

（证法二）已知?ABC中，A,B,C所对边分别为a,b,c,，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C(bcosA,bsinA),B(c,0)，

∴a?|BC|?(bcosA?c)?(bsinA)?bcosA?2bccosA?c?bsinA

22222222222222222222?b2?c2?2bccosA，

即 a?b?c?2bccosA

222同理可证 b?c?a?2cacosB， c?a?b?2abcosC 19．（本小题满分12分）

如图，从点P1（0，0）作x轴的垂线交曲线y?e于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2．再从P2做x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1,Q1；P2,Q2；…；

x222222Pn,Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)（k?0,1,2,L,n）．

（1）试求xk与xk?1的关系（2剟k； n）

（2）求|PQ11|?|P2Q2|?|PQ33|?L?|PnQn|．

【分析】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与

x轴的交点坐标；（2）尝试求出通项|PnQn|的表达式，然

后再求和．

【解】（1）设点Pk?1的坐标是(xk?1,0)，∵y?e，∴y??e， ∴Qk?1(xk?1,exk?1xx)，在点Qk?1(xk?1,exk?1)处的切线方程是y?exk?1?exk?1(x?xk?1)，

令y?0，则xk?xk?1?1（2剟kn）．

（2）∵x1?0，xk?xk?1??1，∴xk??(k?1)， ∴|PkQk|?exk?e?(k?1)，于是有

?1?2?(k?1)|PQ?L?e11|?|P2Q2|?|PQ33|?L?|PnQn|?1?e?e1?e?n? 1?e?1e?e1?n?，

e?1e?e1?n即|PQ． 11|?|P2Q2|?|PQ33|?L?|PnQn|?e?1 20．（本小题满分13分）

如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：

时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1的频率 L2的频率 0.1 0 0.2 0.1 0.3 0.4 0.2 0.4 0.2 0.1 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站． （1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 .

【分析】（1）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率；（2）首先确定X的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望．

【解】（1）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”， Bi表示事件“甲选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i?1，2． 用频率估计相应的概率，则有：

P(A1)?0.1?0.2?0.3?0.6，P(A2)?0.1?0.4?0.5；

∵P(A1)?P(A2)，∴甲应选择路径L1；

P(B1)?0.1?0.2?0.3?0.2?0.8，P(B2)?0.1?0.4?0.4?0.9；

∵P(B2)?P(B1)，∴乙应选择路径L2．

（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知

P(A)?0.6，P(B)?0.9，又事件A，B相互独立，X的取值是0，1，2，

∴P(X?0)?P(AB)?P(A)?P(B)?0.4?0.1?0.04，

P(X?1)?P(AB?AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.4?0.9?0.6?0.1?0.42P(X?2)?P(AB)?P(A)?P(B)?0.6?0.9?0.54，

∴X的分布列为

X P 0 1 2 0.04 0.42 0.54 ∴EX?0?0.04?1?0.42?2?0.54?1.5． 21．（本小题满分14分）

设函数f(x)定义在(0,??)上，f(1)?0，导函数f?(x)?（1）求g(x)的单调区间和最小值； （2）讨论g(x)与g()的大小关系；

1，g(x)?f(x)?f?(x)． x1x（3）是否存在x0?0，使得|g(x)?g(x0)|?若不存在，请说明理由．

1对任意x?0成立？若存在，求出x0的取值范围；x【分析】（1）先求出原函数f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．

1，∴f(x)?lnx?c（c为常数），又∵f(1)?0，所以ln1?c?0，即c?0， x1∴f(x)?lnx；g(x)?lnx?，

xx?1x?1∴g?(x)?2，令g?(x)?0，即2?0，解得x?1，

xx【解】（1）∵f?(x)?当x?(0,1)时，g?(x)?0，g(x)是减函数，故区间在(0,1)是函数g(x)的减区间； 当x?(1,??)时，g?(x)?0，g(x)是增函数，故区间在(1,??)是函数g(x)的增区间； 所以x?1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以g(x)的最小值是g(1)?1．

（2）g()??lnx?x，设h(x)?g(x)?g()?2lnx?x?1x1x1， x(x?1)2则h?(x)??，

x2当x?1时，h(1)?0，即g(x)?g()， 当x?(0,1)U(1,??)时，h?(x)?0，h?(1)?0， 因此函数h(x)在(0,??)内单调递减，

当0?x?1时，h(x)?h(1)=0，∴g(x)?g()； 当x?1时，h(x)?h(1)=0，∴g(x)?g()． （3）满足条件的x0不存在．证明如下： 证法一 假设存在x0?0，使|g(x)?g(x0)|?即对任意x?0有lnx?g(x0)?lnx?但对上述的x0，取x1?eg(x0)1x1x1x1对任意x?0成立， x2 ① x时，有lnx1?g(x0)，这与①左边的不等式矛盾，