D 解析 易知y＝x－πsin x为奇函数，所以图象关于原点对称，排除B，C项；当x趋向于正无穷时，根据正弦函数的有界性可知函数值y趋向于正无穷，所以图象应落在x轴的上方，排除A项，故D项正确．故选D项．
π
A>0，ω>0，|φ|
1π
A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度得到
26B．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
π
个单位长度得到 12
π
C．先向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍得到
12π1
D．先向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍得到
62
7ππ?π
－＝π，即ω＝2.当x＝时，函数f(x)取D 解析 由图象可知，A＝1，周期T＝4×??123?3πππππ
得最大值，则2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝2kπ－(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－，则f(x)
32626ππ
2x－?.将函数g(x)＝sin x的图象先向右平移个单位长度，＝sin?再把所得图象上各点的横坐6??6π1
2x－?的图象．故选D项． 标缩短到原来的倍，即可得到f(x)＝sin?6??2
10．长方体ABCD－A1B1C1D1的各个顶点都在表面积为16π的球O的表面上，其中AB∶AD∶AA1＝2∶1∶3，则四棱锥O－ABCD的体积为( )
26
A．
3C．23
B．
6 3
D．3
A 解析 设球的半径为r，由球的表面积公式知4πr2＝16π，则r＝2.如图所示，设AB＝2x，AD＝x，AA1＝3x，则有A1C2＝4x2＋x2＋3x2＝(2r)2＝16，解得x＝2，由内接长方体的AA16性质知四棱锥O－ABCD的高h＝＝，所以V
22选A项．
四棱锥O－ABCD
1626＝×22×2×＝.故323
11．(2020·湖南衡阳八中模拟)过抛物线x2＝2py(p>0)上两点A，B分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点P(1，－2)，则直线AB的方程为( )
1
A．y＝x＋2
21
C．y＝x＋3
2
2
1
B．y＝x＋3
41
D．y＝x＋2
4
x2xx1
D 解析 由x＝2py，得y＝，所以y′＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y′|x＝x1＝，2ppp
x2x1x2x2x212
y′|x＝x2＝，抛物线在点A处的切线方程为y＝x－，点B处的切线方程为y＝x－，pp2pp2p
?由?xx
y＝x－?p2p，
2
2
2
x1x21y＝x－，
p2p
?
解得?xx
y＝?2p，
12
x1＋x2x＝，2
?又两切线交于点P(1，－2)，所以?xx
?2p＝－2，
12
x1＋x2
＝1，2
故
得x1＋x2＝2，x1x2＝－4p.(*)
x1x2
因为过A，B两点的切线垂直，所以·＝－1，故x1x2＝－p2，所以p＝4，故得抛物线
pp的方程为
x2＝8y.由题意知直线
??y＝kx＋b，
AB的斜率存在，可设直线方程为y＝kx＋b，由?2
?x＝8y?
消去y整理得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.(**)
11
由(*)和(**)可得k＝且b＝2，所以直线AB的方程为y＝x＋2.故选D项．
44
12．如果函数f(x)对于任意实数x，存在常数M，使得不等式|f(x)|≤M|x|恒成立，那么就称函数f(x)为有界泛函．下面有4个函数：①f(x)＝(sin x＋cos x)x；②f(x)＝x2；③f(x)＝1；④f(x)＝x
.其中有两个属于有界泛函，它们是( )
x2＋x＋1
B．②④ D．③④
A．①④ C．①③
|f?x?|
A 解析 因为|f(x)|≤M|x|恒成立，所以当x＝0时，|f(0)|≤0恒成立；当x≠0时，≤M
|x||f?x?||f?x?|?x＋π??有恒成立，只要有最大值即可．①中，当x≠0时，＝|sin x＋cos x|＝?2sin??4??|x||x|最大值 2，故①是有界泛函；②中，当x≠0
时，f(x)＝x2，则
|f?x?||x2|
＝＝|x|，|x|没有最大值，|x||x|
|f?x?|
因此不存在M，使≤M对任意x∈R均成立，故②不是有界泛函；③中，f(x)＝1，则|f(0)|
|x||f?x?|11
＝1不满足|f(0)|≤0，故③不是有界泛函；④中，当x≠0时，＝2＝|x||x＋x＋1|??1?23?x＋
??2?＋4?4
有最大值，故④是有界泛函．故选A项．
3
13．已知棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，其三视图如图所示，则其体积为________．
解析 由三视图及题意可知该棱柱的底面是边长为1的正方形，棱柱的高为12×
33＝. 22答案
3
2
3
，故V＝2
14．平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，若|a|＝|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.
解析 因为平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，所以它们两两所成的角为120°，所以|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|cos 11
－?＋2×2×1×?－?＋120°＋2|b||c|cos 120°＋2|a||c|cos 120°＝4＋4＋1＋2×2×2×??2??2?1
－?＝1，故|a＋b＋c|＝1. 2×2×1×??2?答案 1
π1
15．已知在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝________.
43解析 如图，AD为△ABC中BC边上的高．