[B组 因材施教·备选练习]
3??x?x<0?
1．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝?，
?g?x??x>0??
若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是 ( )
A．(－2,1) C．(－1,2)
B．(－∞，－2)∪(1，2)∪(2，＋∞) D．(－2，－2)∪(－2，0)∪(0,1)
解析：因为函数g(x)是R上的奇函数，所以当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，而当x＝0时，x3＝ln(1＋x)＝0，在函数f(x)中补充f(0)＝0，则根据y＝x3，y＝ln(1＋x)都是单调递增的，可得函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－2 答案：D 2．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明； (3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 解析：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数，证明如下： 令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)＝f(1)＝0，解得f(－1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x， 有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)． ∴f(x)为偶函数． (3)f(4×4)＝f (4)＋f(4)＝2， f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3， 而f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3， 即f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*) ∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴(*)式等价于不等式组 ???3x＋1??2x－6?>0， ? ??3x＋1??2x－6?≤64? ???3x＋1??2x－6?<0，或? ??3x＋1??2x－6?≥－64.? ?解得?7 －?3≤x≤5 1x>3或x<－，3