第四章弹性变形·塑性变形·本构方程
当我们要确定物体变形时其内部的应力分布和变形规律时，单从静力平衡条件去研究是解决不了问题的。因此，弹塑性力学研究的问题大多是静不定问题。要使静不定问题得到解答，就必须从静力平衡、几何变形和物性关系三个方面来进行研究。考虑这三个方面，就可以构成三类方程，即力学方程、几何方程和物性方程。综合求解这三类方程，同时再满足具体问题的边界条件，从理论上讲就可使问题得到解答。
在第二、三两章中，我们已经分别从静力学和几何学两方面研究了受力物体所应满足的各种方程，即平衡微分方程式(2-44)和几何方程式(3-2)等。所以，现在的问题是，必须考虑物体的物性，也即考虑物体变形时应力和应变间的关系。应力应变关系在力学中常称之为本构关系或本构方程。本章将介绍物体产生变形时的弹性和塑性应力应变关系。
大量实验证实，应力和应变之间的关系是相辅相成的，有应力就会有应变，而有应变就会有应力。对于每一种具体的固体材料，在一定条件下，应力和应变之间有着确定的关系，这种关系反映了材料客观固有的特性。下面我们以在材料力学所熟知的典型塑性金属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的应力应变曲线(如图4-1所示)为例来说明和总结固体材料产生弹性变形和塑性变形的特点，并由此说明塑性应力应变关系比弹性应力应变关系要复杂的多。
在图4-1中，OA段为比例变形阶段。在这一阶段中，应力和应变之间的关系是线性的，即可用虎克定律来表示:
ζ=Eε (4-1)
式中E为弹性模量，在弹性变形过程中，E为常数。A点对应的应力称为比例极限，记作ζP。由A点到B点，已经不能用线性关系来表示，但变形仍是弹性的。B点对应的应力称为弹性极限，记作ζr。对于许多材料，A点到B点的间距很小，也即ζP与ζr数值非常接近，通常并不加以区分，而均以ζr表示，并认为当应力小于ζr时，应力和应变之间的关系满足式(4-1)。在当应力小于ζr时，逐渐卸去载荷，随着应力的减小，应变也渐渐消失，最终物体变形完全得以恢复。若重新加载则应力应变关系将沿由O到B的原路径重现。BF段称为屈服阶段。C点和D点对应的应力分别称为材料的上屈服极限和下屈服极限。应力到达D点时，材料开始屈服。一般来说，上屈服极限受外界因素的影响较大，如试件截面形状、大小、加载速率等，都对它有影响。因此在实际应用中一般都采用下屈服极限作为材料的屈服极限，并记作ζs。有些材料的屈服流动阶段是很长的，应变值可以达到0.01。由E点开始，材料出现了强化现象，即试件只有在应力增加时，应变才能增加。如果在材料的屈服阶段或强化阶段内卸去载荷，则应力应变不会顺原路径返回，而是沿着一条平行于OA线的MO'''(或HO'、KO'')路径返回。这说明材料虽然产生了塑性变形，但它的弹性性质却并没有变化。如果在点O'''(或O'、O'')重新再加载，则应力应变曲线仍将沿着O'''MFG (或O'HEFG、O''KFG)变化，在M点(或H点、K点)材料重新进入塑性变形阶段。显然，这就相当于提高了材料的屈服极限。经过卸载又加载，使材料的屈服极限升高，塑性降低，增加了材料抵抗变形能力的现象，称为强化(或硬化)。
显然，我们注意到材料变形一旦进人塑性变形阶段，应力和应变就不再具有一一对应的关系。在F点之前，试件处于均匀应变状态，到达F点后，试件往往开始出现颈缩现象。如果再继续加载则变形将主要集中于颈缩区进行，F点对应的应力是材料强化阶段的最大应力，称为强度极限，用Qa表示。由于颈缩区的截面逐渐缩小，所以试件很快受拉被剪断。试件在断裂之前。一般产生有较大的塑性变形。韧性较好的低碳钢材料的应力应变曲线所反映的变形特征既典型又具有代表性。这也为大量固体材料的力学试验结果所证实。综上所述.并对大量固体材料力学试验资料综合分析知，固体材料弹性变形具有以下特点:
(1)弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做的功以能量（应变能)的形式贮存在物体内，当卸载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得以完全恢复。
(2)无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态，在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系。
(3)对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。因此，应力与应变是一一对应的关系。 而固体材料的塑性变形具有以下特点: (l)塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆。塑性变形的产生过程，必定要消耗能量(称耗散能或形变功)。 (2)在塑性变形阶段，应力和应变关系是非线性的。因此，不能应用叠加原理。又因为加载与卸载的规律不同，应力与应变也不再存在一一对应的关系，也即应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载的路径(即加载历史)。
(3)当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的弹性区域和产生塑性变形的塑性区域。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化。
但判断物体中某一点是否由弹性状态转变到塑性状态，必然要满足一定的条件(或判据)，这一条件就称为屈服条件。在分析物体的塑性变形时，材料的屈服条件是非常重要的关系式(详见§4-4)。
无疑，在弹性区，材料在加载或卸载的过程中都服从应力应变成线性比例关系，即广义虎克定律(详见§4-3)。但在塑性区，加载过程服从塑性规律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。为了考虑材料的变形历史、应研究应力和应变增量之间的关系，以这种关系为基础的理论，称为增量理论。在比例变形条件下，通过对增量理论的应力和应变增量关系的积分，就可以得到全量理论的应力和应变关系。增量形式的应力与应变增量的关系和全量形式的应力应变关系都是非线性的关系式，它们就是塑性变形的应力应变关系(详见§4-7)。
此外，若对材料加载，应力超过屈服极限后，卸去载荷，然后再反向加载(即由轴向拉伸改为压缩)，则这时产生的新的屈服极限将有所降低，如图4-2所示，ζs''<ζs'且ζs''<ζs。这种具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高，而在相反方向上降低的效应，是德国的包辛格(J. Bauschinger)首先发现的，故称之为包辛格效应。包辛格效应使材料具有各向异性性质。由于这一效应的数学描述比较复杂，一般塑性理论(在本教程)中都忽略它的影响。
综上所述可知，塑性力学要比弹性力学的理论复杂得多。为研究塑性力学的需要，这里我们在第一章绪论中对固体材料所做基本假设的基础上，再提出以下附加假设，这些附加假设都是建立在一些金属材料的实验基础上的，它们是:
(1)球应力引起了全部体变(即体积改变量)，而不包含畸变(即形状改变量)，体变是弹性的。因此，球应力不影响屈服条件。
(2)偏斜应力引起了全部畸变，而不包括体变，塑性变形仅是由应力偏量引起的。因此，在塑性变形过程中，材料其有不可压缩性(即体积应变为零)。
(3)不考虑时间因素对材料性质的影响，即认为材料是非粘性的。
此外必须指出，上述附加假设的前两条对于一般岩土类材料是不适用的。有关岩土类材料的讨论请见§4-5。
§4-2 弹塑性力学中常用的简化力学模型
不同的固体材料，力学性质各不相同。即便是同一种固体材料，在不同的物理环境和受力状态中，所测得的反映其力学性质的应力应变曲线也各不相同。尽管材料力学性质复杂多变，但仍是有规律可循的，也就是说可将各种反映材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类并加以总结，从而提出相应的变形体力学模型。
对于不同的材料，不同的应用领域，可以采用不同的变形体模型。在确定力学模型时，要特别注意使所选取的力学模型必须符合材料的实际情况，这是非常重要的，因为只有这样才能使计算结果反映结构或构件中的真实应力及应力状态。另一方面要注意所选取的力学模型的数学表达式应足够简单，以便在求解具体问题时，不出现过大的数学上的困难。关于弹塑性力学中常用的简化力学模型分析如下：
(1)理想弹塑性力学模型 当材料进行塑性状态后，具有明显的屈服流动阶段，而强化程度较小。若不考虑材料的强化性质，则可得到如图4-3所示理想弹塑性模型，又称为弹性完全塑性模型。在图4-3中，线段OA表示材料处于弹性阶段，线段AB表示材料处于塑性阶段，应力可用如下公式求出:
由于公式(4-2)只包括了材料常数E和εs，故不能描述应力应变曲线的全部特征，又由于在ε=εs处解析式有变化，故给具体计算带来一定困难。这一力学模型抓住了韧性材料的主要特征，因而与实际情况符合得较好。
(2)理想线性强化弹塑性力学模型 当材料有显著强化率，而屈服流动不明显时，可不考虑材料的塑性
流动，而采用如图4-4所示线性强化弹塑性力学模型。图中有两条直线，其解析表达式为:
式中E及E1分别表示线段OA及AB的斜率。具有这种应力应变关系的材料，称为弹塑性线性强化材料。由于OA和AB是两条直线，故有时也称之为双线性强化模型。显然，这种模型和理想弹塑性力学模型虽然相差不大，但具体计算却要复杂得多。
在许多实际工程问题中，弹性应变比塑性应变小得多，因而可以忽略弹性应变。于是上述两种力学模型又可简化为理想刚塑性力学模型。
(3)理想刚塑性力学模型 如图4-5所示，应力应变关系的数学表达式为:
上式表明在应力到达屈服极限之前，应变为零，这种模型又称为刚性完全塑性力学模型，它特别适宜于塑性极限载荷的分析。
(4)理想线性强化刚塑性力学模型 如图4-6所示，其应力应变关系的数学表达式为: (5)幂强化力学模型 为了避免在ε=εs处的变化，有时可以采用幂强化力学模型，即取：
式中n为幕强化系数，介于0与1之间。式(4-6)所代表的曲线(如图4-7所示)在ε=0处与ζ轴相切，而且有：
式（4-7)的第一式代表理想弹性模型，若将式中 的A用弹性模量E代替，则为虎克定律式(4-1); 第二式若将A用ζs代替，则为理想塑性(或称理想 刚塑性)力学模型。通过求解式(4-7)则可得ε=1，即 两条直线在ε=1处相交。由于幂强化模型也只有两 个参数A和n，因而也不可能准确地表示材料的 所有特征。但由于它的解析式比较简单，而且n可以 在较大范围内变化，所以也经常被采用。
§4-3 弹性本构方程·弹性应变能函数·弹性常数间的关系
4-3-1 广义虎克定律——弹性本构方程
大量的试验研究结果表明，在许多工程材料的弹性范围内，单向的应力与应变之间存在着线性关系。
若取过某点的x方向为单轴向力方向，则简单拉(压)时的虎克定律为: ζx=Eεx。由于这种关系反映出来的材料变形属性，应不随应力状态的不同而变化，因而人们认为，对于各种复杂应力状态也应有性质相同的关系，故可将上述应力应变线性比例关系推广到一般情况，即在弹性变形过程中，任一点的每一应力分量都是六个独立的应变分量的线性函数；反之亦然。这种形式的应力应变关系，称为广义虎克定律或弹性本构
①
方程，表达为数学形式则为:
式中是amn(m、n=1,2，?，6)共36个，是材料弹性性质的表征。由均匀性假设知，这种弹性性质应与点的位置坐标无关，于是弹性系数amn都是与位置无关的常数，故称为弹性常数。如果采用张量记法，则式(4-8)可缩写为:
式(4-9)中的aijkt与式(4-8)中的amn的对应关系如表4-1所示。
例如：C12 = C1122,C34=C3312或C3321,?
现在的问题是：广义虎克定律中的36个弹性常数是否都彼此无关?如果不是，那么在各种情况(如在各向同性体情况等)下，它们之间有什么关系?特别是对各种各向异性材料，它们之间又有什么关系?在回答这些问题之前，我们先引入弹性应变能的概念，并给出在普遍情况下应变能的计算公式。
4-3-2 弹性应变能函数
现设物体在外力作用下处于平衡状态，在物体产生弹性变形的过程中，外力沿其作用线方向的位移上作了功。若对于静载作用下的物体产生弹性变形过程中可以不计能量(包括动能与热量)的损失。于是，根据功能原理可以认为：产生此变形的外力在加载过程中所作的功将以一种能的形式被积累在物体内，此能量称为弹性应变能，或称弹性变形能，并且物体的弹性应变能在数值上等于外力功。这就是变形能原理。若弹性应变能用U表示，外力功用We，表示，则有:
在加载过程中，变形体的外力和内力都要作功。在小变形条件下，根据机械能守恒定理，则可认为这一过程中的外力功和内力功(用Wi表示)之和为零，也即:
于是有:
因为内力是由于材料对应变的抵抗而产生的，所以在静力加载过程中，内力与变形方向反，内力功取负值。
这里所谈的内力实际上就是指物体内的应力，也即一点单元体各微截面上作用的应力。显然，整个物体的内力功，就等于物体内每一点处(单元体)由于变形应力所作的内力功的总和。应当注意到，当我们取物体内一点(单元体)作为研究对象时，则该单元体各微截面上作用的应力，就应视为该单元体的外力了，见图2-12所示，当单元体各边长dx、dy、dz因变形都产生有位移分量δu、δv、δw时，应力分量ζij和应变分量εij也应有相应的增量，由此可计算出单元体上应力所作的功。
首先考察单元体上外法线与x轴相平行的微截面上拉力(或压力)所作的功，如图4-8(a)所示。当有应变增量δεx时，则两平行微截面间的相对位移为δεxd x。略去右侧截面上正应力增量势错误！未找到引用源。dx一项(因该项力所作的功为高阶微量)，则得单元体x方向的拉力(或压力) ζxdydz所作的功为(b)式第一项.同理可得单元体y、z方向上的拉力(或压力)所作的功为(b)式后两项:
再考察单元体xOy平面内剪力在剪变形上所作的功。如图4-8(b)所示，当有剪应变增量δγxy时，同理略去剪应力增量错误！未找到引用源。dx，单元体两侧面上作用的剪力错误！未找到引用源。xydydz组成力偶错误！未找到引用源。xydydzdx，则该力偶所作的功为式(c)第一项。同理再考察单元体yOz或zOx截面上剪力作的功，可得式(c)后两项:
综上所述，物体内一点单元体各微截面上的全部外力在微小变形增量上所作的功为:
考虑到dxdydz是单元体的体积，因此单元体中单位体积内外力在微小应变增量上所作的功为:
根据外力功与应变能的关系，单位体积内外力在微小应变增量上所作的功应等于单位体积内应变能的全部增量δU0，即：
从零应变状态到达某一应变状态εij的过程中，积累在弹性体单位体积内的应变能，称为应变能密度或应变比能，记为U0。则为：
于是整个弹性体内的应变能为：
由式（4-13）知，δU0。是单位体积应变能增量，因而由式(4-14)知应变比能U0是应变状态的函数，即:
则可表示为函数的全微分，也即：
与式(4-13)相比较，即得：
函数U0称为弹性应变比能函数或弹性势。此式表明，应力分量等于弹性应变比能函数对相应的应变分量求一阶偏导数，且该式适用于一般弹性体，可缩记为：
4-3-3 弹性常数间的关系
现在我们来回答前面提出的问题，即式（4-8）中的36个弹性常数之间有什么关系?我们先从最复杂的情况开始，逐个加以讨论。 1 极端各向异性体
如果在物体内的任一点，沿任何两个不同方向上的弹性性质都互不相同时，则称该物体为极端各向异性体。在实际工程材料中，这种情况虽然很少见到，但其36个弹性常数之间也存在有某些内在联系。
现将式(4-8)中第一式对εy求偏导，第二式对εx求偏导，则有：
根据式(4-18)的结论有：
由于应变比能U0是应变分量的连续函数，故式(f)中两式应相等，联系式(e)得：a12=a21。同理可证明36个弹性常数之间存在有以下关系;
因此，可知这36个弹性常数中，对极端各向异性体，独立的弹性常数只有21个。于是极端各向异性体从零应变状态到应变状态为εij的过程中，积累在单位体积内的应变能为:
注意上式中不带系数错误！未找到引用源。的项均为合并项。
2 正交各向异性体
如果在物体内的每一点都有三个互相正交的弹性对称面，在侮个面两边的对称方向上弹性相同，但在这三个方向上弹性各不相同。这种物体就称为正交各向异性体。例如工程上常见的双向配筋不同的钢筋混凝土构件、木材以及煤岩等。
若取x、y轴在一弹性对称面内，则z轴颠倒方向时，如图4-9 (a)所示，由于xOy平面两侧弹性相同，由式(4-21)所得的U0值应不变，因为U0只取决于弹性常数和最终的应变状态，同坐标系的选择无关。因此，只
要xOy为平面两边弹性相同，变形结果也相同。而U0的数值与z轴怎样设取无关。于是对于弹性体应有：
若同理再讨论另两个弹性对称平面，则在式(g)所得结果基础上，还应有：
因此，对于正交各向异性体，独立的物性参数只剩下9个。则由式(4-8)得正交各向异性体的应力应变关系为:
应变比能为:
从以上讨论可以看出，如果所设的x、y、z轴恰在应变的主方向上，则有γxy=γyz=γzx=0，同时由式(4-22)可得错误！未找到引用源。xy=错误！未找到引用源。yz=错误！未找到引用源。zx=0，即所设x、y、z方向也恰是应力的主方向。因此结论是：
只要是正交各向异性体，其应变主方向与应力主方向相重合。至于下面将讨论的横观各向同性体和各向同性体，则更是如此。 3 横观各向同性体
有一类正交各向异性体，其特点是在平行于某一平面的所有各个方向(即所谓横向)都具有相同的弹性，我们将这类正交异性体称为横观各向同性体。许多成层的岩石就属于这一类。
现把y轴设在纵向，而z、x轴设在上述平面内的横向。由于xOz平面内的任意方向弹性都相同，因此把原有的εx和εz的数值对调，对U0应无影响。同样把γxy与γzy的数值对调，对U0也应该无影响。于是对照式(4-22)可知：
则相应的应力应变关系为：
也可将式(4-24)改为用应力表示应变的形式：
对比材料力学的公式，令:
则式(4-25)可写成:
由于在xOy平面内各向同性，故由材料力学的证明知：
因此，对于横观各向同性体，独立的弹性常数只有5个，它们是:E1、E2、μ1、μ2、G2。
若将式(4-24)中的各系数代人式(4-21)中，则可得横观各向同性体的弹性应变比能表达式。 4 各向同性体
若在物体内的任一点，沿任何方向的物性都相同，则称为各向同性体。例如许多金属材料、水泥，以及许多岩石材料等。联系上面对横观各向同性体的讨论可知，对于各向同性体来说，现在不仅在xOz平面内各方向弹性相同，而且在空间任何方向上的弹性都相同。采用上面同样的方法可证明：
由于是各向同性，故在式(4-26)中令：
于是各向同性体的应力应变关系为:
式(4-28)可缩写为;
式(4-29)中令
。材料力学中已证明了：
上式中G就是工程中使用的剪切弹性模量，E称为杨氏弹性模，μ称为泊松(Poisson )比。式(4-28)也可改写为用应变表示应力的形式：
若令：
上式中的λ称为拉梅（Lame）常数。已知体积应变
，则上式可写为:
若将式(4-31)中各弹性系数代入式(4-23)，即可得各向同性体的应变比能为：
综上所述，对于各向同性弹性体，弹性常数只有三个，分别是E、G、μ，由式(4-30)知，独立的弹性常数只有两个，通常选用杨氏弹性模量E和泊松比μ。 若将式(4-28)左边三式相加，则得：
于是由平均应力
，平均应变
，则得:
若令：
则式(4-36)变为:
式(m)反映了球应力与体积应变的比例关系，式中K称为体积弹性模量，再由式(4 - 29)得:
又应用式(4-36)，并加以整理得：
显然式((n)方括号项为零，子是得：
式(p)表明应力偏量与应变偏量成正比。我们注意到第一偏应力不变量，J1=Sij=0，因此式(p)中只有5个方程是独立的，必须与式(m)联立，才构成与广义虎克定律式(4-28）或式(4-33)等价的应力应变关系式。于是，关于各向同性体的用球应力和偏应力表示的广义虎克定律为：
若从式(4-30)和式(4-32)求出μ和E，则可得：
根据材料力学实验知：
于是由式(4-34)得到Uo>0。这表明，对于各向同性材料，应变能函数Uo恒为正值。
例4-1将一橡皮方块放入与它等体积的铁盒内，在上面用铁盖封闭，使铁盖承受均匀压力p，如图4-l0所示。假设把铁盖和铁盒视为刚体，且不计橡皮与铁之间的摩擦。试求：
(1)铁盒内侧面所受的压力q以及橡皮块的体积应变θ；
（2)若将橡皮换成刚体或不可压缩体时，其体积应变将有什么变化。
解：取xyz坐标系的z方向与压力p方向一致，则有：
因εx=εy=0，故得到侧向压力q为：
体积应变为：
当换成刚体时，E→∞，因此θ = 0；当换成不可压缩体时，μ=1/2，因此，θ = 0。
§4-4屈服函数·主应力空间·常用屈服条件
4-4-1屈服函数与应力空间
由本章中关于材料弹性变形和塑性变形的讨论及其特点的总结可看出，塑性应力应变关系比弹性应力应变关系要复杂得多。并且我们必须要做的一项工作就是首先要判断材料是处于弹性状态还是已经进人到塑性状态，而进行这一判断所依据的准则，就称为屈服条件，又称塑性条件。当材料处于单向拉伸(或压缩)应力状态时，我们通过简单的试验〔如图4-1所示)就可使这一问题容易地得到解决：当应力小于屈服极限ζs时，材料处于弹性状态，当达到屈服极限ζs时，便认为材料已进人塑性状态。即便是对那些应力应变曲线上弹塑性分界不明显的材料，通常将对应于塑性应变为εs=0.2%时的应力ζ0.2作为屈服极限来判明，如图4-11所示。但是，当材料一旦处于复杂应力状态时，问题就不那么简单了。因为一点的应力状态通常是由六个应力分量所共同确定，因而不能简单地选择其中
某一个应力分量的数值来作为判断材料是否进人塑性状态的标准，而是应该考虑到所有这些应力分量对材料进入塑性状态的贡献。当然，也不能采用只根据不同的应力状态进行试验的方法来确定材料的屈服条件。因为要进行次数如此可观的实验是不切实际的，并且所需实验设备和实验方法也较复杂，甚至是目前根本做不到的。那么在复杂应力状态下材料的屈服条件如何确立呢？
人们根据材料破坏的现象，总结材料破坏的规律，逐渐认识到：不管固体材料产生断裂或塑性屈服的表面现象多么复杂，对应某种破坏形式都具有共同的某一决定强度的因素。对于同一种材料，无论它处于何种应力状态，当导致它产生某种破坏的这一共同的因素达到某一个极限值时，材料就会产生相应的破坏。因此。我们可以通过材料的简单力学试验来确定这个因素的极限值。现在的问题就是考虑根据简单受力状态的试验结果去建立同复杂应力状态下所有的应力分量都相关的关系，也即屈服条件。
在一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有关，或者说，屈服条件是该点六个独立的应力分量的函数，即为：
f（ζij）称为屈服函数。式(4-40)表示在一个六维应力空间内的超曲面。所谓六维应力空间是以六个应力分量ζx，ζy，?的全体所构成的抽象空间。因为由六个应力分量组成，所以称它为六维应力空间。空间内的任一点都代表一个确定的应力状态。.f（ζij）是这个空间内的一个曲面。因为它不同于普通的几何空间内的曲面，所以称为超曲面。该曲面上的任意一点（称为应力点）都表示一个屈服应力状态，所以又称屈服面。例如，在单向拉伸时，屈服应力ζs应在屈服面上，如用六维应力空间来描述，则该点应为超曲面上的一个点，且该点坐标为(ζs，0,0,0,0,0）
①
对于各向同性材料来说，坐标轴的转动不应当影响材料的屈服。而一点的应力状态可用该点的主单元体来表示，因此可以取三个应力主轴为坐标轴。此时，屈服函数式((4-40)可改写为：
前面曾经谈到，球形应力状态只引起弹性体积变化，而不影响材料的屈服。所以。可以认为屈服函数中只包含应力偏量，即；
这样一来，屈服函数就转化为用应力偏量表示的函数，而且可以在主应力ζ1、ζ2、ζ3所构成的空间，即主应力空间来讨论。主应力空间是一个三维空间，物体中任意一点的应力状态都可以用主应力空间中相应点的坐标矢量来表示，如图4-12所示。因此，我们在这一主应力空间内可以形象地给出屈服函数的几何图象，而直观的几何图形将有助于我们对屈服面的认识。
需要说明，在静水压力不太大的情况下，静水压力不影响材料的塑性性质这一假设，对许多金属材料和饱和土质是适用的，但对于岩土一类材料，这一假定并不符合实际.这时就应对式(4-42)进行相应的修正。
下面介绍几种特殊的应力状态在主应力空间中的轨迹： 1球应力状态或静水应力状态 关于球应力状态，应力偏量为零。即S1=S2=S3=0，且ζ1=ζ2=ζ3=ζm。显然在主应力空间中，它的轨迹是经过坐标原点并与ζ1、ζ2、ζ3三坐标轴夹角相同的等倾斜直线On，如图4-12所示，其方向余弦为l1=l2=l3=1/√3。On直线的方程式为：
On直线上各点所对应的应力状态是取不同的ζm值的球应力状态。 2平均应力为零
平均应力为零，即ζm= 0，应力偏量Sij不等于零。在主应力空间中，它的轨迹是一个平面，该平面通过坐标原点并与On直线相垂直，也即过原点与坐标平面成等倾斜的平面，我们称它为π平面〔图4-12）。其方程式为；
设在主应力空间中。任一点的坐标矢量用上的分量
和在π平面上的一个分量(即相当于
来表示，如图4-12所示，它可以分解为在直线On方向）这就等于把应力张量ζij分解为球应力张量
，
和偏应力张量Sij。如果我们所研究的问题希望排除球张量而着重考虑偏张量，那么在主应力空间中，我们只濡要分析应力矢量在，平面上的投影就可以了。
3应力偏量为常量
应力偏量为常量，即S1=C1，S2=C2，S3=C3，(C1、C2、C3为常数)。这时，ζ1-C1=ζ2-C2 =ζ3-C3=ζm，它在主应力空间中的轨迹是与On线平行但不经过坐标原点的直线L，如图4-13所示。其方程为；
或写为：
式（d）中即：
，
。显然，直线L上各点对应的应力状态具有相同的偏张量，
4平均应力为常量 平均应力为常量，即
(C为常量)。其在主应力空间的轨迹为一个与On直线正交
但不通过坐标原点的平面。显然该平面与π平面平行。其方程为：
式（f）中的d为该平面与π平面间的距离。显然，该平面上的各点所对应的应力状态具有相同的球张量。
我们知道。当应力ζij较小时.材料处于弹性状态。这就是说，在主应力空间中，围绕着坐标原点有一个弹性变形区域。在这个区域内，应力的无限小增量dζij不会引起塑性变形。当应力增大到一定程度，材料便进人了塑性状态，这时应力的增量dζij就将引起塑性变形(或使塑性变形发生变化)。因此，我们可以设想：在主应力空间中，坐标原点附近的弹性区是被塑性区包围着的，若仅从π平面上来看，弹性区与塑性
区的分界为一条曲线，而在主应力空间中，弹性区与塑性区的分界则为一曲面，该曲面就称为屈服面。它是屈服条件式(4-41)在主应力空间中的轨迹。屈服面的概念是拉伸〔或压缩)应力应变曲线的屈服极限概念的推广。
若我们认为球应力〔静水压力)状态不影响材料的屈服，则上述屈服面必定是一个与坐标轴呈等倾斜的柱体表面，其母线垂直于π平面。显然我们对屈服面的讨论只需研究它与π平面的截迹C就可以了，如图4-14所示。曲线C就称为屈服曲线或屈服轨迹。 屈服曲线在π平面内有下列重要性质：
（1）屈服曲线是一条封闭曲线。并且坐标原点被包围在内。容易理解，坐标原点是一个无应力状态，材料不可能在无应力状态下屈服，所以屈服曲线必定不过坐标原点。同时，初始屈服面内是弹性状态，所以屈服曲线必定是封闭的，否则将出现在某种应力状态下材料不屈服的情况，这是不可能的。
（2）屈服曲线与任一从坐标原点出发的向径必相交一次，且仅有一次。在只讨论初始屈服的条件下，材料既然在一种应力状态下达到屈服，就不可能又在与同一应力状态相差若千倍的另一应力状态下再次达到屈服。初始屈服只有一次。
（3）屈服曲线对三个坐标轴的正负方向均为对称。因为材料认为是各向同性的，所以如果（ζ1、ζ2、ζ3）是屈服时的应力状态，那么(ζ1、ζ2、ζ3)必定也是屈服时的应力状态。这就表明，屈服轨迹应当对称于Ⅰ轴(即坐标轴Ⅰ在π平面上的投影)。同样道理，轨迹C也对称于Ⅱ轴和Ⅲ轴，如图4-15所示。这里需要指出的是图4-15所示仅表示理论曲线，未考虑其外凸性。由于我们假定当应力分量改变符号时，屈服函数f（ζij）的值保持不变，即f（ζij）=f（-ζij），所以，如果我们从屈服轨迹上任一点引一条过原点的线段(表示应力按比例卸载，并按同样的比例向反方向加载)，那末它必定在对称于原点的那一点处与轨迹C相交。由此可见，轨迹C不仅对称于轴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，而且还对称于与它们垂直的三条直径，如图4-15中虚线所示。这就是说，由这六条线段所分割的12个30°幅角中，轨迹的形状是相同的，因此，我们只需要考虑其中任一幅角里的应力矢量就可以了。
（4）屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。可以证明，屈服曲线必定是外凸
的(殷绥域，1990)，这就意味着在π平面内任何一根直线至多与屈服曲线相交于两点(除非该直线本身就是屈服轨迹C上的一部分)。
下面再讨论一下屈服曲线的可能位置。
为不失一般性，可以假设轨迹C通过Ⅲ轴上的A点，如图4-16所示。那么，根据上面讨论过的对称条件，可知B、F点(它们分别在Ⅰ、Ⅱ轴上，且
)同样也是轨迹C上的两个点，而且连接
A、B和A、F点的两条直线就是外凸的逐段光滑曲线。它通过A、B及F点，并对称于Ⅲ轴。同时也对称干与Ⅲ轴相邻的两轴(它们分别垂直于Ⅰ轴和Ⅱ轴，图中用虚线表示)。显然，具有上述特征的其他曲线不可能位于折线FAB的内侧。
其次，考虑到对Ⅲ轴的对称性，凡是经过A点并且是外凸的分段光滑的曲线不可能在直线F'AA'的外侧。因此从图4-17可知，一切满足各向同性、不计包辛格效应、与球应力状态无关，并且外凸等条件的可能的屈服轨迹一定位于正六边形ABCDEFA与A'B'C'D'E'F'A'之间。必须强调指出，并非位于两个六边形之间的一切曲线都是许可的，只有外凸的曲线才是可能的屈服轨迹。
4-2-2常用屈服条件
历史上(从19世纪中叶开始)曾经先后提出许多不同形式的屈服条件，如最大正应力条件(G. Galilea )、最大弹性应变条件(B.Saint Venant)、弹性总能量条件(E.Beltrarni ) ,最大剪应力条件(H.Tresca ) 、歪形能条件(R. Von Mises）、Mohr条件(（）. Mohr)等等。但经过大量的实验验证及工程实践的检验，证明符合工程材料特性，又便于在工程中应用的常用屈服条件有以下两种： 1 Tresca屈服条件
1864年，法国工程师屈雷斯卡(H.Tresea)在做了一系列金属挤压实验的基础上，发现在变形的金属表面有很细的痕纹，而这些痕纹的方向很接近于最大剪应力的方向，因此他认为金属的塑性变形是由于剪切应力引起金属中晶格滑移而形成的。Tresca提出：在物体中，当最大剪应力ηmax(指绝对值)达到某一极限值时，材料便进人塑性状态。当 ζ1≥ζ2≥ζ3时，这个条件可写为如下形式：
如果不知道主应力的大小和次序，则在主应力空间应将Tresca条件写为：
在式（4一44）中，如果有一个式子为等式时，则材料便已进人塑性状态。若将式(4一44)改写为一般性公式，则为：
在主应力空间中，式(4-45)的几何轨迹相当于图4一18（a）中所示正六角柱体。该柱体与ζ1ζ2平面
的截迹[将ζ3代人式(4-45)即得]为：
这表示六条直线，如图4-18(b)所示，也即：
该柱体与π平面的截迹则为一正六边形，如图4-18（c）所示。
上面出现的k值，只需通过简单受力状态的试验来测定。如采用单向拉伸试验，则ζs为屈服极限，于是有。ζ1=ζs，ζ2=ζ3=0，则由式(4-43)得出：
若采用纯剪切试验，则：，为剪切屈服极限ηs，于是有ζ1=ηs，ζ2=0，ζ3=-ηs得出
比较式(4-48)与式(4一49），若Tresca屈服条件正确，则必有：
最大剪应力的假设，由于和实验结果比较一致，因而一般是被接受的。但在使用Tresca条件时，主应力的人小和次序应该知道，因为这样才能求出最大剪应力ηmax如果能知道主应力的次序，则使用Tresca条件是很方便的。因为从数学表达式来看，它是个线性的简单公式，使用它求解问题是非常方便的。此外。Tresca的最大剪应力屈服条件忽略了中间主应力ζ2对材料屈服的贡献，这是它的不足之处。 2 Mises屈服条件
上面已经指出，Tresca条件在预知主应力大小次序的问题中，应用起来很方便。但在一般情况下却相当麻烦。191年德国力学家米塞斯(R. Von Mises)指出：在等倾面上，Tresca条件六边形的六个顶点是由实验得到的，但是连接六个顶点的直线段却包含了假定(认为中间主应力不影响屈服)，这种假定是否合适，需经实验证明。Miser认为：用一个圆来连接这六个顶点似乎更合理，并且可避免因曲线不光滑而造成的数学上的困难。Mises屈服条件在主应力空间中的轨迹是外接于Tresca六角柱体的圆柱体，如图连一19（a）所示，该圆柱体垂直于正八面体斜面或π平面。因此它在π平面上的截迹则为一半径等于
的圆，如图4-19
（c）所示，它在ζ1ζ2平面的截迹为外接于六角形的椭圆，如图4-19(b)所示。如用方程表示，Miles条件可 写成：
或者写成为
上两式中的k为常量，其值可通过简单应力状态的试验来测定。若采用单向拉伸试验，ζs,为屈服极限，则ζ1=ζs，ζ2=ζ3=0，由式（4-51)得：
若采用纯剪切试验，同理得ηs=k，于是知：
也就是说ηs≈0.577ζs。
1924年汉基(H. Heneky)对Mises条件的物理意义做了解释.他指出式(4-51)相当于形状改变应变能密度等于某一定值，即：
①
Hencky认为：当韧性材料的形状改变应变能密度Uod达到一定数值k'时，材料便开始屈服。若采用单向拉
伸试验，则材料屈服时的，于是知式(4-51)同式(4-55)是一致的。故也常将Mises屈服
条件称为畸变能条件。
1937年纳达依(A. Nadai)对Mises，条件的物理意义提出了另外的解释。Nadai认为式(4 -51)相当于八面体剪应力η8等于某一定值，即
也就是说，当八面体剪应力达到一定数值时，材料开始屈服。1952年诺沃日洛夫（B.B. Harauricm)又对Mises条件的物理意义用剪应力的均方值给了又一种解释(此略)。总之，以上三种解释虽然表达形式不同，但实际上。它们之间是存在有内在联系的。
有关验证上述屈服条件的试验资料很多。此处不再详细介绍。实验证明：畸变能条件比最大剪应力条件更接近于实验结果，并且不需要预先知道主应力的大小次序，也考虑到了中间主应力ζ2对屈服的贡献。图4-20给出了薄管实验与拉扭实验的结果。图4 - 20（a）为泰勒等人（G. I. Taylor,H.Quinney)的拉扭试验结果；图4一20(b)为洛德(W. Lodc )薄管试验结果。
例4-2 有一等截面圆轴，处于弯 扭组合应力状态下，如图4-21所示。已
测得材料的屈服极限为ζs=300MPa ,且已知弯矩Mw = 10kN·m，扭矩Mn=30kN·m。若取安全系数为n=1.2，试按材料力学有关公式和强度理论设计轴的直径。
解：圆轴处于弯扭联合作用，故轴内危险点横截面上的两应力分量为：
上式中
，而主应力为：
显然。该圆轴内某点的应力状态为ζ1=ζmax，ζ2=0，ζ3=ζmin。且ζ1、ζ3分别为：
根据Tresca条件知：ζ1一ζ3=ζs，将式(3)代人，并考虑安全系数后得：
解得：
所以轴径可取d≥10.9cm。 根据Mises条件知：
，将式(3)及安全系数计入并化简得：
由式(6)解得：
所以轴径可取d≥10.4cm 。
§4一5岩土材料的变形模型与强度准则
4-5-1岩土材料的变形特点及主要假设
地质或采掘工程中的岩土、煤炭、土壤，结构工程中的混凝土、石料以及工业陶瓷等材料统称为岩土材料。
在一般的常规材料试验机上，进行岩土类介质的材料力学实验时，由于试验机压头的位移量大于试件的变形量，试件在破坏时，试验机贮存的弹性变形能立即释放，对试件产生冲击作用并导致剧烈破坏，因此得不到材料应变软化阶段的规律，即不能得到全应力应变曲线。若采用刚性试验机，并能控制加载速度以适应试件的变形速度，就可获得全应力应变曲线。岩石和混凝土等材料的具代表性的全应力应变曲线如图4-22所示。实验表明，当应力较低时，试件材料的内部裂隙被压实，在这个阶段(OA段)，应力的数值增加不大，而压缩应变较大；在内部裂隙被压实之后，应力与应变呈现近似线性增长，在这个阶段( AB段)中，伴有体积变化，而B点的应力值称为屈服强度，随着应力的增加，材料的
微裂纹也在不断发生与扩展，因此应力和应变之间表现出明显的非线性增长，也表现出一定的应变硬化特性(BC段)，C点的应力值称为强度极限(压缩强度极限ζbc或拉伸强度极限ζbt）在C点附近，试件总的体积变形从收缩转人扩胀，即材料出现宏观裂纹，裂纹的扩展使得材料的变形不断增加，而应力不断下降，将这一阶段（CD段)称为应变软化阶段；DE阶段则显示出了材料的剩余强度。在达到强度极限时积蓄于材料内的应变能的数值为峰值左侧曲线OABCF所包围的面积，记为U1，从裂缝到破坏整个过程所消耗的能
量为峰值右侧曲线(FCDE)所包围的面积U2。若U1＞U2，则材料破坏后仍剩余一部分能量，这部分变形能的突然释放会伴随有“岩爆”；若U1＜U2,则变形能在试件破坏过程中全部释放，不会出现岩爆。
综上所述。可将岩土材料的应力应变曲线大体分为三段。第I阶段( OABC)为应力应变非线性上升，第Ⅱ阶段(CD)为应变软化阶段，而第Ⅲ阶段(DE)为剩余强度阶段，在有些材料中并不出现该阶段。通常在拉伸情况下，材料的应力应变曲线的变化规律与压缩时相似，但表征各阶段的应力和应变的数值与压缩时有很大的差别。岩土材料的受压强度比受拉时要高得多。
关于岩土类材料，通常是处于三向或双向受压状态下。在岩石力学和土力学中，模拟三向受力状态的试验被称为“三轴试验”口三轴试验中最常见的是模拟三向受力状态的一种特殊情况，即在三个相互垂直方向上保持两方向上的压力值相等，而改变另一方向上的压力的大小。这种试验可以在三轴实验机上完成，图4-23为这种三轴实验机的主体构造原理示意图。试验时在圆柱体试件周围环绕着流体，把这种流体施以高压来向试件提供围压。在试验过程中，通常使围压保持到某一恒定值，用一个可以推进的活塞压头向试件施加轴向压力，不断增大压力，直到试件产生破坏。一般可以彼此独立地控制围压和轴向载荷，并且设有专门的装置来测量试验时的轴向载荷、围压以及变形量。一般围压愈低，材料屈服强度也愈低，应变软化阶段也愈明显，随着围压的增大，屈服强度增大，塑性性质也明显增加。图4-24是伍姆比杨(Wombeyan )大理岩在常规实验机上进行的三轴试验的结果。图4-24（a）为伍姆比杨(Wombeyan)大理岩的三轴压缩试验中，随围压增，图4-24(b)为不同围压下伍姆比杨大理岩的破裂或流动类型。 另一种三轴试验就是模拟三个相互垂直方向的压力各自独立变化。为了和上述三轴试验相区别，通常称之为“真三轴试验”。真三轴试验通常是在立方体岩石试件的三组相互正交对应的表面上，独立地加载来进行的。试验时要特别注意减小受载岩石试件表面上的摩擦，以使试件获得三向受力状态的良好近似值。可想而知，进行真三轴试验要比三轴试验复杂和困难得多，目前这方面还有许多问题有待解决。
通过以上讨论和对大量岩土材料的试验资料的分析，人们认识到，由于岩土材料组成上的不均匀性、
缺陷以及有裂隙的分布，使得材料在受载过程中细微裂隙进一步扩展与运动，并导致材料的宏观强度和刚度的降低。因此，材料的非弹性变形主要是由微裂隙和缺陷的产生与扩展所引起的。岩土材料的压硬性(抗剪强度随压应力的增高而提高)、剪胀性〔在剪应力作用下产生塑性体积应变)、等压屈服(在各向相等的压力作用下产生塑性屈服)，使得岩土塑性理论与金属塑性理论有着重要的差异。这些差异主要表现为： （1）在静水压力不太大或环境温度不太高的工程环境下，岩土类介质表现出应变软化的特性。 （2）岩土材料的压硬性决定了岩土的剪切屈服与破坏必须考虑平均应力与材料的内摩擦性能。 （3）材料的弹性系数与塑性变形无关是金属材料的特点，而岩土材料则需考虑弹塑性的耦合。 （4）在岩土材料中需考虑奇异屈服面。
（5）金属材料中的正交流动法则在岩土材料中亦不再适用。
由于岩土材料与金属材料在变形特性上的显著差异，岩土材料的强度准则(在金属塑性理论中称屈服条件，在岩土塑性理论中也可称为塑性条件).应包含平均应力；并且能反映应力、应变张量中球形分量与偏斜分量之间存在着交叉影响；体积应变的屈服则使强度准则曲面的端部是封闭的，等等。材料变形的复杂性与描述应力应变模型的多样性，是求解岩土材料承载能力时首先遇到的问题。合理简化应力应变曲线，正确选择强度准则，对求解具有重要意义。由于影响岩土塑性变形的因素较多，且有些因素是不能忽略的，因此岩土塑性理论中的假设相对较少，主要假设有：
（1）连续性假设 虽然岩土介质在肉眼可见的尺度内呈现不均匀性和不连续性，但是在进行工程问题的力学分析时，可作为连续介质岩土力学问题，即在更大的尺度范围内来描述各种力学量时，取其统计平均值。
（2）不计时间与温度的影响在多数情况下，可以忽略蠕变与松弛效应，并可略去应变率对变形规律的影响。在一般工程问题中，温度的变化是不大的，可以不计温度的影响。
4-5-2岩土材料的变形模型
根据大量岩土材料的试验资料，我们可对岩土材料的应力应变曲线进行简化，并将强度极限作为岩土材料变形特性的转折点，则可采用以下几种基本变形模型： (1)理想弹塑性模型该模型假设应力达到最大值后保持不变，而材料的变形仍可继续增长，如图4-25（a）所示，数学表达式为：
该模型适用于材料应变软化不明显时，即在C点附近存在着一段应力下降不明显的情况。
(2)脆塑性模型如图4-25(b)所示，在该模型中，应力达到最大值时产生“跌落”，下降后的应力值称为
剩余强度，数学表达式为：
其中B称为剩余强度系数，且0≤B＜1。当应变软化剧烈时，采用该模型可以反映出应力跌落的特性。 （3）线性软化模型如图4-25（c）所示，将应变软化过程近似为线性的，即：
选取不同的斜率E1，可以描述材料的不同软化特性。
考虑到岩土材料应力应变实验曲线的多样性，也可将上述变形模型进行不同的组合。 4-5-3
岩土材料的强度准则
在岩土材料实验中，当时，材料出现宏观裂纹。在复杂应力状态下，将材料出现宏观裂纹时，应力之间所满足的条件称为强度准则。这种提法与金属塑性理论中的屈服条件相类似，所以也可将强度准则称为塑性条件，该条件表示材料将由弹性状态进人非弹性变形状态，两者的临界状态即表示材料进人塑性或出现宏观裂纹，其应变与变形模型相关，对于理想弹塑性模型则表示进人无约束塑性变形状态；对、于脆塑性模型和线性软化模型则分别代表将产生应力跌落和进人线性软化状态。在C点(见图4-22)以后的应力组合仍满足强度准则，但这时表征材料力学性能参数的数值按不同模型有所差别，例如，对于理想弹塑性模型，力学性能参数的值ζb不变，而在脆塑性模型中强度值由ζb降为Kζb，线性软化模型中强度值的下降与ε及E有关。因此岩土材料的承载特性不仅与变形模型相关，也与强度准则有关。
对于一般岩土材料来说，随着静水压力的增加，屈服应力和破坏应力都有很大增长。即使在初始各向同性的假定下，也应该对式(4-42)进行修正，而采用形式为：
的屈服条件。
岩土力学中的强度准则通常可表述如下：在介质一点单元体的任何微截面上，其剪应力ηn的大小都不能超过某一临界值。当｜ηn｜达到该临界值时，材料就要产生剪切滑移。在最简单的情况下，上述的临界值和破裂面上的正应力ζn之间呈线性关系，即有：
这就是库伦(C. A. Coulomb)剪切强度准则。上式中：C通常为一常量，是固体材料在ζn=0微截面上的抗剪强度。在岩石力学中常称为粘聚力；θ为内摩擦角(在岩上力学中，一般取压应力为正，此时ζn前的负号应改为正号)。在更一般的情况下，式(4-61）中的θ将随(-ζn)的增加而减小，也即：
这就是莫尔强度准则。莫尔强度准则可用曲线(如双曲线、抛物线、摆线等)来表示θ值随ζn的增加而变化的情况如图4-26（b）所示。当我们仅考虑θ值为常数的情形时，就是库伦剪断裂准
则式(4-61)，表示的是一对射线。如图4-25(a)所示。介质应力状态的最大应力圆应处于由这两条射线或莫尔包络线MN和M’N’所包围的区域内，当材料产生剪切滑移时，极限应力圆应与射线或包络线相切。莫尔强度准则的包络线可以通过材料的一系列不同应力状态下的试验，材料产生破坏时的极限应力圆来确定。而在库伦剪切强度准则中，则可用单拉抗拉强度ζbt与单向抗压强度ζbc来表示粘聚力C和内摩擦θ，它们之间的关系为：
实验表明，用式(4-61)或式(4-62)表示材料中的微裂纹即将开始活动可能更恰当些，故通常以它们来作为岩土材料的屈服条件。经研究证明，库伦剪切强度准则实际上可认为是莫尔强度准则的线性化表示，所以也常称之为莫尔一库伦准则。
为了用主应力ζ1》ζ2》ζ3表示库伦剪切强度准则，将：
代人式(4-61)得：
或写成
式(4-64)中的两个主应力应分别用ζ1、ζ2和ζ3轮换，则可分别得到六个表达式。而式(4-64)左端的第二项则反映了静水压力对屈服条件的影响。我们注意到
则式(4-64)还可写成为：
式(4-54)或式(4-65）在ζ1、ζ2、ζ3主应力空间中形成的屈服面与二平面的截迹为图4- 27所示六边形ABCDEF，该六边形的边长相等，但夹角并不相等。而且六边形的大小是随着ζm的增大而线性缩小，当ζ1=ζ2=ζ3=Ccotθ时，图形收缩成一点O’。因此，该准则的屈服面为以π平面上六边形为底，以O’为顶的六棱锥体的侧面。由几何表示可知，在库伦准则中考虑到了材料拉压强度极限的明显差异以及静水压力对强度准则的影响。
另一种考虑静水压力影响的强度准则是卓柯一普拉格(Trucker-Prager,1952)准则，它是 Mises条件的推广，如图4-28所示，可写成：
式中I1=和ζ1＋ζ2＋ζ3；α和K均为正的材料常数，它们与C和θ的关系取决于圆锥面与六棱锥面之间的相互关系。若取两个锥面的顶点重合，当Mises圆的半径与图4-27中B的长度相等，即为外接圆锥时有：
当为内切圆锥时有：
关于材料的屈服条件或强度准则，除已经介绍的Tresca条件、Mises条件、Coulomb准则、Molr准则和Drurker-Prager准则外，还有选用材料的单拉屈服极限ζs或剪切屈服极限K来表示的双剪应力屈服条件(俞茂宏等，1988)，选用单拉抗拉强度ζbt与单向抗压强度ζbc以及双压强度极限来描述的强度准则，以及根据混凝土破坏包络面的几何特性，建议采用以八面体应力表达的强度准则〔过镇海等,1991)等，此处由于篇幅所限，就不一一介绍了。
§4-6加载准则·加载曲面·加载方式 4-6-1
判别加载与卸载的准则
在4-1中已经指出，当材料进人塑性状态以后，其应力应变关系对于加载过程和御载过程是不同的，需分别进行研究。因此，我们在具体讨论塑性应力应变关系之前，还需要明确按照什么准则来区分加载过程和卸载过程。
在单向拉伸中，当应力ζ小于ζs时，材料是处于弹性状态的，应力应变关系服从虎克定律。这时不必区分加载和卸载的过程。但是，当应力大于ζs后，材料便处于塑性状态，这时应力应变关系对加载过程和卸载过程便遵循不同的规律。如图4-29(a)所示，设M点的应力为'，如果再附加上一个无限小的增量dζ时，那么根据拉伸试验的结果可知，当dζ＞ 0时，在拉伸曲线上表征应力状态的点从M变化到M’，引起了塑性变形的增长[相应的塑性应变的增量
如图4-29(a)中NN’所示〕；同时材料的屈服极限也提高了，这
是强化材料的重要特性，由此而形成的新的屈服点(如图中M'点)称为后继屈服点。应力的这种变化(即dζ＞0)称为加载。如果dζ＜0，那么新的应力状态便不M'点，而是图4-29(b)中的M''点。这时材料不会产生新的塑性变形，而且只要应力不超过ζ'，应力应变关系的变化总是遵循弹性规律，这种情况(即dζ＜0)称为卸载。
由以上分析可知，在简单受力情况下(例如单向拉伸、单向压缩、纯剪切等)，加载过程和卸载过程是容易区分的。但是，对于复杂应力状态，如何来判别加载和卸载呢？这个问题就要困难得多。当材料已进人塑性状态，设其中某一点的应力状态为ζij，如果给应力状态ζij一个无限小的增量dζij，则是否会引起新的塑性变形呢？换言之，这个过程是属于加载呢？还是卸载呢？由于塑性变形时所产生的物理过程的复杂性以及实验资料的不充分，目前还不能够较完善地回答这个间题。但是，人们还是建立了一些加载准则，使之能相当广泛地适用于各种加载情况，下面介绍一种最简单的加载准则。
因为在单向拉伸(ζ＞0)时，dζ＞0为加载,，dζ＜0为卸载；而在单向压缩(ζ＜0)时，dζ＞0
为卸载，dζ＜0则为加载。如果把这两种情况结合起来，即可得单向受力状态的加载准则如式（4-64)左半部分所示。若将这一加载准则加以推广，则对于复杂应力状态加载准则也许具有类似于单向受力状态加载准则的形式(当然，在这个设想的基础上得出的推论，必须经过实验的验证)，也即如式(4-69)右半部分所示：
关于中性变载的解释，可参见本节加载曲面的讨论。此外，由于：
若考虑平均应力ζm考虑第一项
对塑性变形的影响可以忽略不计，则式(a)中后三项均为零，则上式等号右边只需
就可以了，于是式(4-69)又可写成式(4-70）左半部分所示。由于
所以加载准则可以用应力偏量的第二不变量J2来表示，即如式(4-70)右半部分所示：
上述结果，在加载路径不太复杂(没有突然高低的反复变化，并且加载路径的方向没有大的改变)的情况下已为实验所证实。.
4-6-2加载曲面
对于复杂应力状态，引人加载曲面(有时也称后继屈服面)的概念。加载曲面是主应力空间中的曲面，它对应于材料的给定应力状态，将主应力空间划分为弹性区和塑性区，如图4-30所示，坐标原点相应于零应力。如果应力状态的增量dζij由加载曲面指向其外部，则表示加载，将进一步引起材料产生塑性变形；如果
dζij指向曲面内部，则表示卸载，则只引起弹性变形；若增量dζij位于加载曲面的切平面内时，则表示中性变载，也只引起弹性变形。
加载曲面并不是固定不变的，它是随着材料强化的发展而产生形状和位置的变化。一般来说.加载曲面的形状与位置不仅依赖于相应的应力状态。而且还依赖于整个变形历史。
应当注意，加载和加载曲面的概念是对强化材料而言的。对于理想弹塑性材料，一旦材料达到屈服，就不能再继续加载，但塑性变形却在继续增长(即所谓塑性流动)，在主应力空间中，区分弹性区和塑性区的曲面始终是初始屈服面(一些文献中简称为屈服面)。对于理想弹塑性材料，只有中性变载与卸载，卸载时只引起弹性变形，可是中性变载时塑性变形继续增长(塑性流动)，这一点与强化材料是不同的。
4-6-3加载方式
加载方式可分为简单加载和复杂加载两种情况。这里只介绍简单加载。 如果在加载(或卸载)过程中，试件内各点应力状态ζij的各应力分量都随着某参数λ成比例地改变，即：
或简写为：
这种加载(或卸载)方式称为简单加载(或简单卸载)，也称作比例加载(或比例卸载)。凡不属于这种方式的加载(或卸载)都称为复杂加载(或复杂卸载)。 式（4-72)中的又是表征加载(或卸载)过程的一个比
例系数，可看作是时间的函数。而ζij只是坐标的函数，与加载(卸载)的过程无关。如果试件中某一点的坐标已经给定，那么在简单加载过程中，该点的各应力分量之间始终保持固定的比值。在主应力空间中，该点应力矢量的轨迹必为通过坐标原点的一射线，如图4-31所示。
目前已建立的便于实用的应力应变关系，主要适
用于简单加载的情况，对于复杂加载，无论在理论上或实验研究方面，都还有许多问题尚未完善地得到解决。关于在复杂加载下应力应变关系的研究，迄今为止仍是塑性力学发展中的一个主要研究课题。
上述简单加载的特征是：在加载过程中，试件内各点的应力主方向和主应力之间的比值可以随空间位置而不同，但不随时间而改变。那么在什么样的条件下才能实现简单加载呢？依留( A. A. HnvrouH)对这一问题做了初步研究，提出简单加载定理。关于简单加载定理的证明，请参见有关弹塑性力学教材。他证明了如果同时满足下列三个条件，便能实现简单加载。也即
（1）所有外力成比例地增长；
（2）材料在单向拉伸时，应力与应变呈幂函数关系； （3）材料为不可压缩材料。即μ=1/2。
§4一7塑性本构方程
4-7-1增量理论（流动理论）
在4-1概述中已阐明材料的塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性和不唯一性。所谓非线性是指应力应变关系不是线性比例关系；所谓不唯一性是指应变不能由应力唯一确定。因此，在塑性变形阶段，应变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。如果不知道变形的历史，便不能只根据即时应力状态唯一地确定塑性应变状态。而且只知道最终的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，以这种关系为基础的理论称为增量理论(或流动理论)。鉴于本课程学时所限，这里仅对增量理论和下文讨论的全量理论做简略介绍。
弹塑性物体内任一点处应力状态进人塑性状态以后，相应的应变7J总可以分解成为两部分：弹性应变部分
和塑性应变部分
，即：
当外载荷有微小增量时，总应变也要有微小增量dgel。同理可得：
若认为球应力作用下物体只产生弹性的体变(即体积改变)；而偏应力作用下物体只产生畸变(即形状的
改变)，但畸变包括有弹性畸变和塑性畸变两部分。这就是说塑性变形仅由应力偏量所引起。且在塑性状态，若认为材料不可压缩，则体积变形为零，即：
而
于是，应变偏量增量为；
在弹性变形阶段，根据广义虎克定律，有：
再由式(4-36)、式(4-37)和式（c）得：
式(e)、式（f)分别表明：在弹性阶段，应力偏量增量与应变偏量增量以及平均正应力增，与平均正应变增量成比例，比例常数分别为2G和3K，也即：
由此，塑性应变增量考虑式（a）经推导得：
增量理论基于以下假定：在塑性变形过程中的任一微小时间增量内，塑性应变增量与瞬时应力偏量成比例，即；
式中dλ为正比例常数，且可根据加载历史的不同而变化。将式(4-76)代入(4-75)后，得总应变增量与应力偏量之间的关系为：
展开式(4-77）得：
式(4-77)或式(4-78)称为普朗特一罗伊斯((L. Prandtl-A.Reuss)方程。该方程表明：塑性应变增量依赖于该瞬时
的应力偏量，而不是达到该状态所藉的应力增量。整个变形过程可以由各瞬时变形的累积求出。因此，增量理论可以描述加载过程对变形的影响，能反映复杂加载的情况。在以上推导中引人一个参数dλ,dλ可以通过屈服条件来确定。若采用Mises屈服条件，经推导得：
式中
为八面体剪应变的塑性部分。再由式(2-44)和式(3-32)知有效应力
和有效塑性应变增量分别为
将式((h)代人式(g)得：
于是由式(4-76)得；
展开式(4-79）得：
式(4-79)或式（4-80)为普朗特一罗伊斯方程的另一种表达式。如在上式中将塑性应变增量换成总应变增量，亦即忽略弹性应变部分，则得莱维一米塞斯(M. Levy-R. Von. Mises)方程：
由方程(4-80)和式(4-81)看出，增量理论的本构方程与广义虎克定律式(4-28)在形式上十分相似，除含应变增量外，所不同的是系数部分。如将虎克定律中的泊松比μ=1/2，1/E用
来代替，便得到流动理论的
本构方程·这反映了塑性变形过程的不可压缩性和塑性变形的非线性，及其对加载路径的依赖性等。在此方程中，若应变增量为已知，则可唯一地求出应力偏量。 方程（4-80)和式((4-81)为
（即J2)的函数，这就是说，上述方程要用到Mises屈服条件。所以这两式
是与Mises屈服条件相关连的本构方程。
以上讨论未涉及强化问题。Prandtl-Reuss理论和Levy-Miles理论也都可以应用于强化材料，有关这方面的研究可参阅有关文献。
4-7-2全量理论(形变理论)
在塑性力学中，有一种特殊的变形情况，即各应变分量自始至终都按同一比例增加或减少，这种情况称为比例变形。在此情况下，应变强度增量可以积分求得应变强度，从而建立了全量理论的应力应变关系，因为这个理论考虑的是应变分量而不是应变分量的增量。全量理论是以比例变形为基础的理论，有时亦称
为形变理论。这一理论首先是由亨奇(H.Hencky)提出的，后来又由原苏联的伊留申将它整理得更完善，问题提得更明确，并给出了使用条件，因此这一理论亦称为亨奇一伊留申理论。伊留申给出的形变理论应满足的几个条件是：
（1）外载荷(包括体力)按比例增加，变形体处于主动变形的过程(即应力强度中不出现中间卸载的情况〕；
（2）材料用体积是不可压缩的，计算时取泊松比μ=1/2； (3)材料的应力应变曲线具有幂强化形式，即
或
；
不断增加，在变形过程
(4)满足小弹塑性变形的各项条件，塑性变形与弹性变形属同一量级。
在满足以上几个条件后，形变理论将给出正确的结果。外载荷按比例增加是满足简单加载的必要条件，如果载荷不按比例增加。则不仅保证不了物体内部的简单加载状态，而且在物体的表面也满足不了简单加载的条件。采用体积不可压缩假设，并取泊松比μ=1/2，不仅简化了具体计算，而且基本上与实验结果相符，使形变理论的物理关系主要表示为应力偏量与应变偏量之间的关系，并使之满足
的规律。
采用幂强化模型可以避免区分弹性区和塑性区，而实际上这一模型对不同材料的限制并不大，因为各种材料都可以通过选取公式中的常数A的指数m来拟合拉伸曲线。采用小变形条件是因为平衡方程和几何方程都是在小变形条件下推导出来的，而物理关系也是小变形条件下的关系式。
伊留申不仅对亨奇形变理论的适用条件做了明确规定，还证明了简单加载定理。他提出在小弹塑性变形的情况下，总应变与应力偏量成比例，即：
若采用主应力表示，有
等效应变的表达式为：
由此得
因此，亨奇一伊留申理论的应力应变关系可写成：
将式(4-84)展开：
根据虎克定律式(4-33)，弹性应变为：
由于塑性应变为总应变与弹性应变之差，故由式(4-85)和式(1)得：
式(4-86)可缩写为：
例4-3已知一根两端封闭的薄壁圆筒，平均半径为r,平均直径为d，壁厚为t，筒长为l，承受内压力P的作用而产生塑性变形。材料为各向同性体。试求：
（1）如忽略弹性应变，筒壁上一点处的周向、轴向和径向的应变增量之比；
（2）若材料为不可压缩材料，即μ=1/2，筒壁上一点处的周向、轴向和径向应变的全量之比。
解 由于t/r1，则可近似地认为筒壁内各点的径向应力ζr=0。若设圆筒横截面上轴向合力为p，横截面面积为A，纵向截面合力为p1，一侧纵向截面面积为A1，则各点的周向和轴,向应力分别为：
则知ζ1=ζθ、ζ2=ζη、ζ3=ζr；而球应力分量为：
应力偏量分量为：
据增量理论可得(忽略弹性变形)：
故得：
也即
由全量理论式(4-84)及μ=1/2，
=0，
，得：
习 题
4-1 试证明在弹性变形时，关于一点的应力状态，下式成立。
1(1) ?8??8; (2) ??k? （设μ=1/2）
G4-2 试以等值拉压应力状态与纯剪切应力状态的关系，由应变能公式证明G、E、?之间的关系为：
1G?
2(1??)11??G?E2，则3，???，k??, θ=0；并说明此时4-3试证明：关于各向同性弹性体，如泊松比
上述各弹性常数的物理意义。
4-4 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限?s与?s的关系。
4-5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来证明泊松比?的上
1下限为：0???。
2E24-6 试由物体三向等值压缩的应力状态来推证：K???G的关系，并验证是否与K?符合，
3(1?2v)3K为体积弹性模量。
4-7 已知钢材弹性常数E1= 210Gpa，μ= 0.3；橡皮的弹性常数E=5MPa，μ= 0.47，试比较它们的体积弹性常数（设K1为钢材，K2为橡皮的体积弹性模量）。
4-8 有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（?1?0,?2?0,?3?0），其主应变为?1?1.7?10?4，
?2?0.4?10?4。已知? = 0.3，试求主应变?3。
4-9 如题4—9图示尺寸为1cm×1cm×1cm的铝方块，无间隙地嵌入——有槽的钢块中。设钢块不变形，试求：在压力P = 6KN的作用下铝块内一点应力状态的三个主应力及主应变，铝的弹性常数E=70Gpa，?= 0.33。
4-10 直径D = 40mm的铝圆柱体，无间隙地放入厚度为?= 2mm的钢套中，圆柱受轴向压力P = 40KN。若铝的弹性常数E1 = 70GPa，?1 = 0.35，钢的E = 210GPa，试求筒内一点处的周向应力。
4-11试证明各向同性弹性体的应力主方向与相应的应变主方问相重合。 4-12将某一小的物体放人高压容器内，在静水压力P = 0.45N/rnm2作用下，测得体积应变θ=-3.6×10-5。若物体的泊松比μ=0.3。试求物体的杨氏弹性模量E。
4-13各向同性物体中某一点的x和y方向的正应力分量分别为=35N/mm2；=25N/mm2，而沿z方向的应变完全被限制住。设E=2.11×105 N/mm2,μ=0.3，试求ζε和εy、εx的值。
4-14在体力不计的情况下，若位移分量为μ=Ayz，υ=Axz，w= AKxy，其中A、K为常数。且K≠1。试求应力分量，并验证此组应力分量能否作为弹性力学问题的可能解答。
4-15物体中某点的应力状态为：
该物体在单向拉伸时屈服极限ζb =190MPa，试用Tresea和Mises屈服条件判断该点处于何种变形状态。如主应力方向均做相反改变(即同值异号)，则对被研究点所处变形状态的判断有无变化。
4-16求如图所示Tresca条件所示D点处的流动法则(即
）
4-17将Mises条件用主应力写出，并研究两种特殊情况：(l）ζ1=ζ2；（2）ζ2=ζ3。试将列出的Mises条件与Tresca条件相比较。
4-18给定单向拉伸曲线如图所示，、E、E'均为已知，当知道B点的应变为ε时，试求该点的塑性应变。
4-19给定下列主应力，试求：
；
以及
。
4-20已知薄壁圆筒承受轴向拉应力
及扭矩的作用，若使用Mises条件，试求屈服时扭转应力
的大小？并求出此时塑性应变增量的比值。
4-21一薄壁圆筒，平均半径为r，壁厚为t,承受内压力P作用，且材料是不可压缩的，
即
；讨论下列三种情况：
（1）管的两端是自由的；(2)管的两端是固定的；（3)管的两端是封闭的口。
分别用Mises和Tresca条件讨论P多大时，管子开始屈服，设已知管子单向拉伸试验ζb值。 4-22按题4-21，如已知管子纯剪切试验的ηs值，结果又如何？ 4-23给出下列问题的Msses和Tresca条件；
（1）受内压作用的封闭薄壁圆管。设内压为q，平均半径为r，壁厚为t，材料为理想弹塑性。 (2)受拉力P和弯矩M作用的等直杆件，横截面为矩形，宽为b,高为h(垂直中性轴方向尺寸〕，材料为理想弹塑性。
4-24设材料为理想弹塑性，
，当材料加载进人弹塑性状态时，试给出简单拉伸时的Prandtl-Reuss
理论与Hencky-moujit。理论的本构方程，以及塑性应变增量分量之间和应变分量之间的比值。
4-25设已知薄壁圆管受拉伸与扭转，其横载面上一点处的应力为均为零。若使中的应力值。
4-26已知某材料在纯剪切时的应力应变曲线为
r3。试问了
曲线是什么形式？ ，
，其他应力分量
保持为常数的情况下材料进人塑性状态，试分别应用增量理论和全量理论求圆管