12
同类题型5.1 已知抛物线y＝ x ＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到
4
12
x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（ 3 ，3），P是抛物线y＝ x ＋1上一个动点，则△PMF4
周长的最小值是 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
32
同类题型5.2 抛物线y＝ax ＋bx＋3（a≠0）经过点A（－1，0），B（ ，0），且与y轴相交于点C．
2
设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．
同类题型5.3小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为__________cm．
参考答案 33
例1．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝ x－ 与x轴交于点B1 ，以OB1 为边长作等边三角
33
形A1OB1 ，过点A1 作A1B2 平行于x轴，交直线l于点B2 ，以A1B2 为边长作等边三角形A2A1B2 ，过点A2 作A2B3 平行于x轴，交直线l于点B3 ，以A2B3 为边长作等边三角形A3A2B3 ，…，则点A2017 的横坐标是____________．
解：由直线l：y＝
333x－ 与x轴交于点B1 ，可得B1 （1，0），D（0，－ ）， 333
∴OB1 ＝1，∠OB1 D＝30°，
11
如图所示，过A1 作A1A⊥OB1 于A，则OA＝OB1＝ ，
22
112－1
即A1 的横坐标为＝ ，
22
由题可得∠A1B2B1＝∠OB1 D＝30°，∠B2A1B1＝∠A1B1 O＝60°，
∴∠A1B1B2 ＝90°， ∴A1B2＝2A1B1 ＝2，
1
过A2 作A2B⊥A1B2 于B，则A1B＝A1B2 ＝1，
22
132－1
即A2 的横坐标为＋1＝＝ ，
222过A3 作A3C⊥A2B3 于C，
1
同理可得，A2B3＝2A2B2 ＝4，A2C＝A2B3 ＝2，
23
172－1
即A3 的横坐标为＋1＋2＝＝ ，
222
4
1152－1
同理可得，A4 的横坐标为＋1＋2＋4＝＝ ，
2222－1
由此可得，An 的横坐标为 ，
220172－1
∴点A2017 的横坐标是 ．
2
同类题型1.1 如图，直线l：y＝x＋1交y轴于点A1 ，在x轴正方向上取点B1 ，使OB1＝OA1 ；过点B1 作A2B1 ⊥x轴，交l于点A2 ，在x轴正方向上取点B2 ，使B1B2＝B1A2 ；过点B2 作A3B2 ⊥x轴，交l于点A3 ，在x轴正方向上取点B3 ，使B2B3＝B2A3 ；…记△OA1B1 面积为S1 ，△B1A2B2 面积为S2 ，△B2A3B3 面积为S3 ，…则S2017 等于（ ）
4030403140324033A．2 B．2 C．2 D．2
n
解：∵OB1＝OA1 ；过点B1 作A2B1 ⊥x轴，B1B2＝B1A2；A3B2 ⊥x轴，B2B3＝B2A3 ；… ∴△△OA1B1 ，△B1A2B2 ，△B2A3B3 是等腰直角三角形， ∵y＝x＋1交y轴于点A1 ， ∴A1 （0，1）， ∴B1 （1，0）， ∴OB1＝OA1 ＝1，
112∴S1＝×1×1＝×1 ，
22112112
同理S2＝×2×2＝×2 ，S3＝×4×4＝×4 ；…
222212n－22n－3∴Sn＝×2＝2 ，
2
2×2017－34031
∴S2017＝2＝2 ， 选B．
3
同类题型1.2 如图，已知直线l：y＝ x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直
3
线l的垂线交y轴于点A1 ；过点A1 作y轴的垂线交直线l于点B1 ，过点B1 作直线l的垂线交y轴于点
A2 ；…；按此作法继续下去，则点A4 的坐标为（ ）
A．（0，128）
B．（0，256）
C．（0，512）
D．（0，1024）
解：∵直线l的解析式为；y＝
3
x， 3
∴l与x轴的夹角为30°， ∵AB∥x轴， ∴∠ABO＝30°， ∵OA＝1， ∴OB＝2， ∴AB＝3 ， ∵A1 B⊥l，
∴∠ABA1 ＝60°， ∴A1 O＝4， ∴A1 （0，4），
同理可得A2 （0，16）， …
4
∴A4 纵坐标为4 ＝256， ∴A4 （0，256）． 选B．
3
x＋1交x轴于点B，交y轴于点A，过点A3
作AB1 ⊥AB交x轴于点B1 ，过点B1 作B1A1 ⊥x轴交直线l于点A2 …依次作下去，则点Bn 的横坐标为____________．
同类题型1.3 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝