题型三、抛物线方程的整数解问题
例1． 已知抛物线y?x?2(m?1)x?m?0与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m＜5，则整数m的值为_____________
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例2．已知二次函数y＝x －2mx＋4m－8．
（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；
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（2）以抛物线y＝x －2mx＋4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正?AMN（M，N两点在拋物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； y 2
（3）若抛物线y＝x －2mx＋4m－8与x轴交点的横坐标均为整数， 求整数．．m的值．
题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合 22O A x 例1．已知抛物线y?x2?bx?c（其中b>0，c≠0）与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n)，且AB=2. (1)求m,b的值
(2)如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO=20。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考）
题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等） 例1．已知：二次函数y?x?4x?m的图象与x轴交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜
2x2），其顶点是点C，对称轴与x轴的交于点D．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果（x1+1）（x2+1）=8，求二次函数的解析式；
（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A1、
B1，顶点为点C1，且△A1B1C1是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式．
综合提升
1．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且| AB|＝2 3，图象的对称轴为x＝1．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象都在直线y＝x＋m的下方，求m的取值范围．
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2．已知二次函数y＝－x ＋mx－m＋2．
（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝ 5，求m的值； （2）设该二次函数图象与y轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且S△MNC ＝27，求m的值．
3. 已知关于x的一元二次方程x －2(k＋1)x＋k ＝0有两个整数根，k＜5且k为整数． （1）求k的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝x －2(k＋1)x＋k 的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；
（3）根据直线y＝x＋b与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围．
4．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m． （1）若m为定值，求此二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围； （3）若二次函数的图象截直线y＝－x＋1所得线段的长为2 2，求m的值．
四、中考二次函数定值问题
1. （2012江西南昌8分）如图，已知二次函数L1：y=x﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）研究二次函数L2：y=kx﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
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2. （2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线l1、l2．
(1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON为直径的圆与直线l1相切；
(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．
3. （2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=?（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
4222x+x交于点A（3，6）． 273（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？
4．（2011?株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a＜0)
的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得OA=OB=22（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标； ．．．（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
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