黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第三次大联考数学试卷含解析 下载本文

能力,属于难题,

?3x??8?t??2(t为参数)

14.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为?,曲线C的参数方程为

?y?t?2?2??x?3s(s为参数). ???y?23s(1)求直线l和曲线C的普通方程;

(2)设P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最小值及此时P点的坐标. 【答案】(1)x?3y?8?0,y?4x;(2)【解析】 【分析】

(1)利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程;

(2)利用参数方程,结合点到直线的距离公式,将问题转化为求解二次函数最值的问题,即可求得. 【详解】

(1)直线l的普通方程为x?3y?8?0. 在曲线C的参数方程中,y?12s?4x, 所以曲线C的普通方程为y?4x. (2)设点P3s,23s.

22225,?3,23?. 2?2?点P到直线l的距离d?3s2?6s?823?s?1??5. ?22当s?1时,dmin?55,所以点P到直线l的距离的最小值为. 22此时点P的坐标为3,23. 【点睛】

本题考查将参数方程转化为普通方程,以及利用参数方程求距离的最值问题,属中档题. 15.如图,在平行四边形ABCD中,AB?2,AD?1,则AC?BD的值为_____.

??uuuvuuuv

【答案】-3

【解析】 【分析】

根据ABCD是平行四边形可得出AC?BD?AD?AB,然后代入AB=2,AD=1即可求出AC?BD的值. 【详解】

∵AB=2,AD=1,

uuuruuuruuur2uuur2uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur∴AC?BD?AB?AD?BA?BC

???uuuruuuruuuruuur??AB?AD???AD?AB?

?uuur2uuur2?AD?AB

=1﹣4 =﹣1. 故答案为:﹣1. 【点睛】

本题考查了向量加法的平行四边形法则,相等向量和相反向量的定义,向量数量积的运算,考查了计算能力,属于基础题.

16.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是

1,则小球落入A袋中的概率为__________. 2

【答案】【解析】

3 4记小球落入B袋中的概率P(B),则P?A??P?B??1,又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直

3?1??1?1则PA?1?PB?3.

向右下落,小球将落入B袋,所以有P?B????????,故本题应填.????44?2??2?4三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地,拟将它分割成面积相等的三个区域,用来种植三E分别在边AB,AC种花卉.方案是:先建造一条直道DE将?ABC分成面积之比为2:1的两部分(点D,

33上);再取DE的中点M,建造直道AM(如图).设AD?x,DE?y1,AM?y2(单位:百米).

(1)分别求y1,y2关于x的函数关系式;

(2)试确定点D的位置,使两条直道的长度之和最小,并求出最小值.

36【答案】(1)y1?x?2?6,x??2,3?.y2?x2x293x?2,3??. ?2?,

4x2?32?(2)当AD?6百米时,两条直道的长度之和取得最小值??6?2??百米.

??【解析】 【分析】 (1)由S?ADE?2S?ABC,可解得AE.方法一:再在?ADE中,利用余弦定理,可得y1关于x的函数关3系式;在?ADE和?AEM中,利用余弦定理,可得y2关于x的函数关系式.方法二:在?ADE中,可得

uuuur1uuuruuuruuuruuuruuuruuur2uuur2uuuruuuruuur2DE?AE?AD,则有DE?AE?2AE?AD?AD,化简整理即得;同理AM?AD?AE,化

2??简整理即得.(2)由(1)和基本不等式,计算即得. 【详解】

解:(1)QS?ADE?2S?ABC,?ABC是边长为3的等边三角形,又AD?x, 31?2?1??6?AD?AE?sin???32?sin?,?AE?. 233?23?x?0?AD?x?3?由?,得2?x?3. 60?AE??3?x?法1:在?ADE中,由余弦定理,得

DE2?AD2?AE2?2AD?AE?cos?3?x2?36?6. x2故直道DE长度y1关于x的函数关系式为y1?在?ADE和?AEM中,由余弦定理,得

x2?36?6,x??2,3?. x2AD2?DM2?AM2?2DM?AM?cos?AMDL①

AE2?EM2?AM2?2EM?AM?cos????AMD?L②

因为M为DE的中点,所以DM?EM?22221DE. 22由①?②,得AD?AE?DM?EM?2AM?21DE2?2AM2, 2x2936?1?236??222所以x?????x?2?6??2AM,所以AM??2?.

4x22?x?x??所以,直道AM长度y2关于x的函数关系式为

y2?x293x?2,3??. ?2?,4x2uuuruuuruuur法2:因为在?ADE中,DE?AE?AD,

uuur2uuur2uuuruuuruuur2?6?6?36所以DE?AE?2AE?AD?AD????2?xcos?x2?x2?2?6.

x3x?x?所以,直道DE长度y1关于x的函数关系式为y1?2x2?36?6,x??2,3?. 2xuuuur1uuuruuurAD?AE. 在?ADE中,因为M为DE的中点,所以AM?2??uuuur21uuur2uuur2uuuruuur1?36?AD?AE?2AD?AE??x2?2?6?. 所以AM?44?x???所以,直道AM长度y2关于x的函数关系式为y2?(2)由(1)得,两条直道的长度之和为

x293x?2,3??. ?2?,4x236x293DE?AM?y1?y2?x?2?6??2?

x4x2236x293 ?2x?2?6?2??x4x222?236x?2??x32(当且仅当?2即x?6时取“?”). ?6?2?x?9??4x2?32?故当AD?6百米时,两条直道的长度之和取得最小值??6?2??百米.

??【点睛】

本题考查了余弦定理和基本不等式,第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解,属于中档题. 18.如图,在四面体DABC中,AB?BC,DA?DC?DB.