（II）记

un??lnt?ln(1?t)?dt01nlimunn?1,2,3,...（），求n??。

（17）（本题满分11分）

?x?2t?t2?y??(t)（t??1）所确定，其中?(t)具有二阶导数，且

设函数y?f(x)由参数方程?d2y35??(1)?24(1?t)，求函数?(t)。 2，??(1)?6。已知dx

（18）（本题满分10分）

一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中

3b油面高度为2时（如图），计算油的质量。

（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数?kg/m）

3

（18题图）

（19）（本题满分11分）

?2u?2u?2u42?12?52?0u?f(x,y)?x?x?y?y设函数具有二阶连续偏导数，且满足等式，确定a，b

13

???x?ay?2u?0???x?by????的值，使等式在变换?下简化为。

（20）（本题满分10分）

计算二重积分

I???r2sin?1?r2cos2?drd?DD?{(r,?)0?r?sec?,0???，其中

?}4。

（21）（本题满分10分）

设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，f(0)?0，

f(1)?13。证明：存

在

??(0,)11??(,1)222，2，使得f?(?)?f?(?)????。

（22）（本题满分11分）

11????a?????A??0??10?b??1??1??1?1?????，已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解。 设，

（I）求?，a； （II）求Ax?b的通解。

（23）（本题满分11分）

?0?14???A???13a?1T(1,2,1)T?4a0?QQAQ为对角矩阵，若Q的第一列为6??设，正交矩阵使得，

求a，Q。

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

14

x?x3（1）函数f?x??的可去间断点的个数，则（ ）

sinnx?A?1.

?B?2. ?C?3.

?D?无穷多个.

（2）当x?0时，f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?是等价无穷小，则（ ）

1a?1,b??. A??6?B?a?1,b?111. ?C?a??1,b??. ?D?a??1,b?. 666（3）设函数z?f?x,y?的全微分为dz?xdx?ydy，则点?0,0?（ ）

?A?不是f?x,y?的连续点. ?B?不是f?x,y?的极值点. ?C?是f?x,y?的极大值点. ?D?是f?x,y?的极小值点.

（4）设函数f?x,y?连续，则

?21dx?f?x,y?dy??dy?x1224?yyf?x,y?dx?（ ）

?A??1dx?1?C??dy?1224?xf?x,y?dy. f?x,y?dx.

?B??1dx?x2124?xf?x,y?dy.

4?y1?D?.?dy?f?x,y?dx

y222（5）若f???x?不变号，且曲线y?f?x?在点?1,1?上的曲率圆为x?y?2，则f?x?在区间

?1,2?内（ ）

?A?有极值点，无零点. ?B?无极值点，有零点. ?C?有极值点，有零点. ?D?无极值点，无零点.

（6）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：

f(x)O 0 -1 -2 1 2 3 x

15

则函数F?x???f?t?dt的图形为（ ）

0xf(x)1 0 -1 f(x)1 -2 1 2 3 x ?B?.

-2 -1 0 1 2 3 x

?A?.

f(x)1 0 f(x)1 -1 1 2 3 x

**-2 0 -1 1 2 3 x

?C?.?D?.

（7）设A、B均为2阶矩阵，A，B分别为A、B的伴随矩阵。若A=2，B=3，则分块矩

阵??0?BA??的伴随矩阵为（ ） 0?

?03B*??A?.?*?

0??2A?03A*??C?.?*?

2B0???0?B?.?*?3A?0?D?.?*?3B2B*?? 0?2A*?? 0?

?100???TT（8）设A，P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP=?010?，若

?002???T，则QAQ为（ ） P=（?1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3） 16