12.设函数f(x)????,x?00,x?0,??0 ，则?xf(x)dx?

????13.设平面区域D由y=x,圆x2?y2?2y及y轴所组成，则二重积分

222??xyda?________

D14.二次型f(x1,x2,x3)?x1?3x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3，则f的正惯性指数为________________

三、解答题 15.已知函数F(x)??x0ln(1?t2)dtx?F(x)?0，试求?的取值范围。 ，设limF(x)?lim?x???x?01t3?t??x?133?16.设函数y=y(x)有参数方程y?1t3?t?1，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。 ?3317.设z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极

?2z值g(1)=1,求

?x?yx?1,y?1

18.设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记?是曲线l在点（x,y)

d?dy?，求y(x)的表达式。 dxdx111?ln(1?)? 19.证明：1）对任意正整数n，都有

n?1nn112）设an?1?????lnn(n?1,2,?),证明{an}收敛。

2n外切线的倾角

20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由

11x2?y2?2y(y?),x2?y2?1(y?)连接而成。

22（1）求容器的容积。

（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为gm/s；水的密度为10kg/m）

21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,

233??f(x,y)dxdy?a，其中

D?D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}，计算二重积分I???xy?xy(x,y)dxdy。

D 9

22.

X P Y P -1 1/3 0 1/3 0 1/3 1 1/3 1 2/3 P(X2?Y2)?1

求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）?XY

?11???11?????23.A为三阶实矩阵，R(A)?2，且A?00???00?

??11??11?????（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A

2010年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解答

一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）

x2?x1f(x)?21?2x?1x的无穷间断点数为（ ） （1）函数

（A）0 （B）1 （C） 2 （D）3

（2）设函数

得

y1，

y2??是一阶非齐次微分方程y?p(x)y?q(x)的两个特解，若常数?，使

?y1??y2是该方程的解，

?y1??y2是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）

（A）

??

1111????????2，2 （B）2，2 2122

??????3，3 （D）3，3

（C）

??

2y?x（3）曲线与y?alnx（a?0）相切，则a?（ ）

（A）4e （B）3e （C）2e （D）e

10

（4）设m、n为正整数，则反常积分

?1m0ln2(1?x)nxdx的收敛性（ ）

（A）仅与m有关 （B）仅与n有关 （C）与 m、n都有关 （D）与 m、n都无关 （5）设函数z?z(x,y)由方程

F(yz,)?0F??0xx确定，其中F为可微函数，且2。则

?z?z?y??x?y（ ）

（A）x （B）z （C）?x （D）?z

x（6）

lim??n??i?1nn?22(n?i)(n?j)j?1（ ）

x1111dydxdy2??00(1?x)(1?y) （B）(1?x)(1?y) 1111dydxdy(1?x)(1?y) （D）?0?0(1?x)(1?y2)

n（A）

??10dx?dx?010x0（C）

（7）设向量组

（ ）

I:?1,?2,...,?r可由向量组

II:?1,?2,...,?s线性表示，下列命题正确的是

（A）若向量组I线性无关，则r?s （B）若向量组I线性相关，则r?s （C）若向量组II线性无关，则r?s （D）若向量组II线性相关，则r?s

（8）设A是4阶实对称矩阵，且A?A?O，若R(A)?3，则A相似于（ ）

2?1??1?????11????????1?1????00? （B）?? （A）? 11

?1???1??????1?1?????????1?1????00? （D）?? （C）?

二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）

??????（9）3阶常系数齐次线性微分方程y?2y?y?2y?0的通解为 y?

2x3y?2x?1的渐近线方程为 （10）曲线

(n)y?ln(1?2x)y(0)? x?0n（11）函数在处的阶导数

???e0????（12）当时，对数螺线的弧长为

（13）已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l?12cm，

w?5cm时，它的对角线增加速率为

?1?1A?B?2A?B?A?3B?2（14）设A，B为3阶矩阵，且，，则

三、解答题（15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤。） （15）（本题满分10分）

求

f(x)??x21(x2?t)e?tdt2的单调区间与极值。

（16）（本题满分10分）

（I）比较

?10lnt?ln(1?t)?dtn与

?10tnlntdt（n?1,2,3,...）；

12