2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cosx?1?xsin?(x)，其中?(x)??2，则当x?0时，?(x)是（ ）
（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小 （C）与x同阶但不等价的无穷小 （D）与x等价的无穷小
（2）设函数y?f(x)由方程cos(xy)?lny?x?1确定，则limn??f(2)?1???n??（ ）
n??（A）2 （B）1 （C）?1 （D）?2
（3）设函数f(x)=??sinx,0?x??，?2,??x?2?F(x)??x0f(t)dt，则（ ）
（A）x?? 是函数F(x)的跳跃间断点 （B）x?? 是函数F(x)的可去间断点（C）F(x)在x??处连续但不可导 （D）F(x)在x??处可导
??1（4）设函数f(x)=??(x?1)??1,1?x?e，若反常积分?1???1f(x)dx收敛，则（ ）
??xln??1x,x?e（A）???2 （B）??2 （C）?2???0 （D）0???2 （5）设z?yxxf(xy)，其中函数f可微，则?zy?x??z?y?（ ） （A）2yf?(xy) （B）?2yf?(xy) （C）
2xf(xy) （D）?2xf(xy) （6）设D??(x,y)|x2?y2k是圆域D?1?在第k象限的部分，Ik???(y?x)dxdy(k?1,2,3,4)，则（ ）
Dk（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0
1
记
（7）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB?C,则B可逆，则 （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
?1a1??200?????（8）矩阵?aba?与?0b0?相似的充分必要条件为
?1a1??000?????（A）a?0,b?2 （B）a?0,b为任意常数 （C）a?2,b?0
（D）a?2,b为任意常数
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
ln(1?x)1)x? ． (9) lim(2?x??x(10) 设函数f(x)??x?1t1?ed，t则y?f(x)的反函数x?f?1(y)在y?0处的导数
dxdyy?0? ．
(11)设封闭曲线L的极坐标方程为r?cos3?(?为 ．
?6????6)，则L所围成的平面图形的面积
??x?arctant(12)曲线?上对应于t?1的点处的法线方程为 ．
2??y?ln1?t(13)已知y1?e3x?xe2x，y2?ex?xe2x，y3??xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件yx?0?0y?x?0?1的解为y? ．
（14）设A?(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若
2
aij?Aij?0(i,j?1,2,3),则A?____
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证．．．明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
当x?0时，1?cosx?cos2x?cos3x与axn为等价无穷小，求n与a的值。 （16）（本题满分10分）
设D是由曲线y?x，直线x?a(a?0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy?10Vx，求a的值。 （17）（本题满分10分）
设平面内区域D由直线x?3y,y?3x及x?y?8围成.计算（18）（本题满分10分）
设奇函数f(x)在[?1,1]上具有二阶导数，且f(1)?1.证明：
（I）存在??，使得f?(?)?1；（II）存在??，使得f??(?)?f?(?)?1。 （0,1）（0,1）（19）（本题满分11分）
求曲线x3?xy?y3?1(x?0,y?0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。 （20）（本题满分11分） 设函数f(x)?lnx?2x??dxdy。 D131， x（I）求f(x)的最小值 （II）设数列{xn}满足lnxn?（21）（本题满分11分） 设曲线L的方程为y?（1）求L的弧长；
（2）设D是由曲线L，直线x?1,x?e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标。 （22）（本题满分11分）
1?1，证明limxn存在，并求此极限.
n??xn121x?lnx42(1?x?e)，
3
设A???1a??01?,B????，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC?CA?B，并求所有矩阵
?10??1b?C。
（23）（本题满分11分）
?a1??b1?22????设二次型f?x1,x2,x3??2?a1x1?a2x2?a3x3???b1x1?b2x2?b3x3?，记???a2?,???b2?。
?a??b??3??3?（I）证明二次型f对应的矩阵为2?T???T?；
22（II）若?,?正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2y1。 ?y2
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二
试题
一、选择题:1?8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
x2?x(1)曲线y?2的渐近线条数 ( )
x?1(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数f(x)?(ex?1)(e2x?2)?(enx?n)，其中n为正整数,则f?(0)? ( )
(A) (?1)n?1(n?1)! (B) (?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D) (?1)nn!
(3) 设an?0(n?1,2,3?),Sn?a1?a2?a3???an，则数列?Sn?有界是数列?an?收敛的
( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要
k?2(4) 设Ik??exsinxdx,(k?1,2,3),则有
0 ( )
4