鲁教版初三数学知识点

编辑人:鲁东大学08级经济系 李建鹏

第一章 分式

一、分式

1．分式的概念：如果整式A除以整式B, 可以表示成A的形式,且除式B中含有字母，那么

B称式子A为分式。其中, A叫分式的分子, B叫分式的分母。

B注意：①判断一个代数式是否为分式,不能将它变形,不能约分后去判断,即使它约分后是整式

也不能说它就是整式,约分之前是分式这个式子就是分式。如:x2／x是分式,虽然约

分之后等于x是整式,但约分前是分式。②π是常数,所以a/π不是分式而是整式。

2．有理式：整式和分式统称有理式。(整式的分母中不含有字母) 3．关于分式的几点说明:

(1)分式的分母中必须含有未知数；

(2)分式是两个整式相除的商式,对任意一个分式，分母都不为零；

a?b表示（a＋b）÷(c－d)； c?d(4)“分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义(分母≠0)，二是分子的值为零，不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零”。 4．一般的，对分式A／B都有：①分式有意义 B≠0；

②分式无意义 B=0； ③分式的值为0A=0且B≠0； ④分式的值大于0分子分母同号； ⑤分式的值小于0分子分母异号。

5．基本性质：分式的分子和分母同乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变。

(3)分数线有除号和括号的作用,如：

二、分式的乘除法

1.分式的乘除法则:分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的幂相除。

2.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。

注意:①当分式的分子分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式时,直接约分；

②分式的分子和分母都是多项式时，将分子和分母分解因式再约分。 3.最简分式: 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，

一般要将一个分式化为最简分式。

三、分式的加减法

1.通分:利用分式的基本性质 ,把异分母的分式化为同分分母的过程。

通分原则:异分母通分时, 通常取各分母的最简公分母作为它们的共同分母。

通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分

母，同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子。

1

最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂及 单独字母的幂的乘积。

2.法则:同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减,先通分,化

为同分母的分式,再按同分母分式的加减法法则进行计算。

四、分式方程

1.概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2.分式方程的解法:①去分母(方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化为整式程若

遇到互为相反数时，不要忘了改变符号)；

②按解整式方程的步骤求出未知数的值；③验根。

3.分式方程的增根:在方程变形时，有时会产生不适合原方程的根即代入方程后分母

的值为０的根，叫做原方程的增根。 例题：m取 时，方程

xm会产生增根(或说无解)。 ?2?x?3x?3(思路)在这里增根就是x=3,但不能直接带入方程求m,所以要先去分母再将x=3带入求m

第二章 相似图形

一、线段的比

1.概念:在同一单位长度下,两条线段的长度的比叫这两条线段的比。在a:b或中,a叫比 例的前项,b叫比例的后项。

2.注意:①若a:b=k,说明a是b的k倍；

②两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求比时两条线段的长度单位必须一致； ③两条线段的比值是一个没有单位的正数；

④除a=b外,a:b≠b:a, a/b与b/a互为倒数。

ab

二、比例线段

1.概念:四条线段a,b,c,d中,如果 a与b的比等于c与d的比, 即a:b=c:d (或a/b=c/d), 那么

这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段。a、b、c、d叫比例的项,其中,a、d叫外项,b、c叫内项。

2

2.比例中项:当a:b=b:c时,称b为a与c的比例中项。(b=ac) 3.性质:

①内项之积等于外项之积 若 a/b=c/d 则 ad=bc ②合比性质 若 a/b=c/d 则 (a+b)/b=(c+d)/d ③分比性质 若 a/b=c/d 则 (a-b)/b=(c-d)/d

④等比性质 若 a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)，则 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a/b ⑤合分比性质 若 a/b=c/d 则 (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d) ⑥更比性质 若 a/b=c/d 则 c/a=d/b(当然也就有a/c=b/d) ⑦反比性质 若 a/b=c/d 则 b/a=d/c

三、形状相同的图形

例如:两个半径不相等的圆；所有的等边三角形；所有的正方形；所有的正六边形。

2

一个图形各点的横坐标、纵坐标都乘以或除以同一个数，则连接所得到点的图形与原图形形状相同。

四、相似三角形

1.概念:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形(相似符号为“∽”)。 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

A

D B

五、探索三角形相似的条件

1．定义判定：对应角相等、对应边成比例 2．判定1：两个角对应相等

判定2：两边对应成比例且夹角相等 判定3：三边对应成比例

D

O

E

E C B

C

相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。

2.全等一定相似,相似不一定全等(全等△是相似△中相似比为1时的特殊情况)

Rt△相似的判定:(除上述三个外)斜边与一直角边对应成比例的两直角三角形相似。 3.三角形相似的判定定理推论

推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分

成比例，那么这两个三角形相似。

推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成

比例，那么这两个三角形相似。

4.(补充)射影定理: 在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高,则

AC=AD·AB BC=BD·AB CD=AD·BD

5.(补充)三角形的重心

①概念:三角形三条中线的交点叫做三角形的重心；

2

2

2

②三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。

3

六、相似三角形的性质

1．相似三角形的三个对应角相等，三边对应成比例；

2．相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比， 3．相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方。

七、测量旗杆的高度(略) 八、相似多边形

1.概念:对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 2.性质:性质1：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；

性质2：相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方。

九、位似图形

1.概念:如果两图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似

图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比。

2.性质:位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 3.探索:①利用位似可以把一个图形放大或缩小；

②对应点连线都交于位似中心,对应线段平行或在一条直线上；

③在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.。

第三章 证明(一)

一、定义与命题

1.定义的概念:能清楚地规定某一名称或术语的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题的概念:一般地,判断一件事情的句子，叫做命题(命题必须是对某事作出判断)。 3.命题的特征:每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知

事项推断出的事项。一般地,命题都可以写成“如果……，那么……”的形式 其中,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论。

4.真假命题:如果条件成立，那么结论成立(正确的命题),像这样的命题叫做真命题；条件成

立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立(错误的命题)，这样的命题叫做假命题。

二、证明的必要性 三、公理与定理

1.公理:通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。

2.定理:通过推理得到证实的真命题叫做定理,可以作为判断其它命题真假的依据。

本教科书选用如下命题作为公理：

①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 也可以简单说成：同位角相等，两直线平行。 ②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

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