本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

5．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C:(x?y)?16xy恰好是四叶玫瑰线.

22322

给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4?；④方程

(x2?y2)3?16x2y2?xy?0?表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是

( ) A．①③ 【答案】B 【解析】 【分析】

利用基本不等式得x?y?4，可判断②；x?y?4和x2?y222B．②④ C．①②③ D．②③④

22??3?16x2y2联立解得

x2?y2?2可判断①③；由图可判断④.

【详解】

?x2?y223??x2?y2?22?16xy?16??，

?2?22解得x?y?4（当且仅当x?y?2时取等号），则②正确； 将x?y?4和x2?y2222222??3?16x2y2联立，解得x2?y2?2，

即圆x?y?4与曲线C相切于点

?2,2，?2,2，?2,?2，

??????2,?2，

?则①和③都错误；由xy?0，得④正确. 故选：B. 【点睛】

本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.

x2y26．已知双曲线E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E上

ab的一点，且|PF2?2PF1|.若直线PF2与双曲线E的渐近线交于点M，且M为PF2的中点，则双曲线E的渐近线方程为( )

1A．y??x

3【答案】C 【解析】 【分析】

B．y??1x 2C．y??2x D．y??3x

△PF1F2的中位线，可得OM?a，在由双曲线定义得PF2?4a，PF1?2a，OM是

△OMF2中，利用余弦定理即可建立a,c关系，从而得到渐近线的斜率.

【详解】

根据题意，点P一定在左支上.

由PF2?2PF2?PF1?2a，得PF1及PF1?2a，PF2?4a， 再结合M为PF2的中点，得PF1?MF2?2a，

又因为OM是△PF1F2的中位线，又OM?a，且OM//PF1， 从而直线PF1与双曲线的左支只有一个交点.

222a?c?4a.——① 在△OMF2中cos?MOF2?2ac由tan?MOF2?ba，得cos?MOF2?. ——② acbc2由①②，解得2?5，即?2，则渐近线方程为y??2x.

aa故选：C. 【点睛】

本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.

x2y27．已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0))的左，右焦点分别为F1,F2，其右支上存在一点

abuuuuruuurM，使得MF1?MF2?0,直线l:bx?ay?0，若直线MF2//l则双曲线C的离心率为

B．2

C．5 D．5

（ ） A．2 【答案】C 【解析】 【分析】

易得且MF1?l，从而l是线段MF1的垂直平分线求出直线MF1的方程与渐近线方程联立

求出交点坐标，进而求得M坐标，根据勾股定理即可求解离心率. 【详解】

uuuuvuuuuv由MF可得MF1?MF2易知直线l:bx?ay?0为双曲线的一条渐近线， 1?MF2?0

可知l的方程为y??方程为y?bx，且MF1?l，从而l是线段MF1的垂直平分线，且直线MF1的aa?x?c?设MF1，与l相交 ba?a2?y??x?c??x????a2ab???bc,?，又F1??c,0?，由中点坐标于点N?x,y?.由 ?得?即N??bcc???y??x?y?ab??a?c??2a22ab?,公式，得M?c??.由双曲线性质可得MF1?MF2?2a①，由MF1?MF2得cc??2MF1?MF2?4c2②，①②联立，可得MF1?MF2?2b所以点M的纵坐标为2b2b22abbb??，所以即?2所以e?1????5. ?accc?a?22故选：C 【点睛】

本题考查双曲线性质的综合问题，考查数形结合思想，对于学生的数学运算和逻辑推理能力要求较高，属于一般性题目.

x2y28．已知O为平面直角坐标系的原点，F2为双曲线2?2?1?a?0,b?0?的右焦点，

abE为OF2的中点，过双曲线左顶点A作两渐近线的平行线分别与y轴交于C，D两点，

B为双曲线的右顶点，若四边形ACBD的内切圆经过点E，则双曲线的离心率为（ ）

A．2 【答案】B 【解析】 【分析】

B．2

C．3 D．23 3由对称性可得四边形ACBD为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O，求出圆心O到BC的距离d，由四边形ACBD的内切圆经过点E，可得d?率. 【详解】

1OF2，化简得出双曲线的离心20?，kAC?0?，B?a，由已知可设A??a，b， ab?x?a?， a有直线点斜式方程可得直线AC方程为y?0?， 令x?0，可得C?b，由直线的截距式方程可得直线BC方程为

xy??1，即bx?ay?ab?0， ab由对称性可得四边形ACBD为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O，设内切圆的半径为r， 圆心O到BC的距离为d?b?0?a?0?aba2?b2?ab?r， c又∵四边形ACBD的内切圆经过点E， ∴

ab1c?OF2??r, c222∴2ab?c2， ∴4a?c2?a2??c4，同除以a4得，e4?4e2?4?0，

2∴e2?2???0，

∴e2?2， ∴e?∴e?2或?2(舍)， 2.

故选：B. 【点睛】

本题考查求双曲线离心率的问题，通过对称的性质得出相关的等量关系，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题.

9．已知直线y?kx?2k?1与直线y??值范围是（ ）

1x?2的交点位于第一象限，则实数k的取211?k? 621 2【答案】D 【解析】 【分析】

A．k?B．k??11或k? C．?6?k?2 62D．?