1.1.1 正弦定理
A级：基础巩固练
一、选择题
1．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝( ) A．4∶1∶1 C.2∶1∶1 答案 D
解析 ∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.由正弦定理的变形公式，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin120°∶sin30°∶sin30°＝1
＝3∶1∶1.故选D. 2
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝15，b＝2，A＝60°，则tanB等于( )
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A．1 B. C. D.
222答案 B
解析 由正弦定理，得sinB＝·sinA＝因此B为锐角．于是cosB＝1－sinB＝
2
B．2∶1∶1 D.3∶1∶1
31
∶∶22
ba215
×
31＝，根据题意，得b 2 sinB1 ，故tanB＝＝. cosB25 3．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) A．a＝7，b＝14，A＝30° C．a＝6，b＝9，A＝45° 答案 D 解析 在A中，bsinA＝14sin30°＝7＝a，故△ABC只有一解；在B中，a＝30，b＝25，92 故a>b，又A＝150°，故△ABC只有一解；在C中，bsinA＝9sin45°＝>6＝a，故△ABC2无解；在D中，bsinA＝40sin30°＝20，因bsinA 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝3a，B＝30°，那么角 B．a＝30，b＝25，A＝150° D．a＝30，b＝40，A＝30° C等于( ) A．120° B．105° C．90° D．75° 答案 A 解析 ∵c＝3a， ∴sinC＝3sinA＝3sin(180°－30°－C) ＝3sin(30°＋C)＝3?即sinC＝－3cosC. ∴tanC＝－3. 又C∈(0°，180°)，∴C＝120°. 二、填空题 35 5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c513＝________. 答案 14 5 1?3?sinC＋cosC?， 2?2? 35412 解析 ∵cosA＝，cosB＝，∴sinA＝，sinB＝. 51351356 ∴sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝. 65 56 又∵sin(π－C)＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinC＝， 65563× 6514bc由正弦定理，得＝，∴c＝＝. sinBsinC125 13 6．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则 A＝________. 答案 30° 解析 ∵b＝2a，∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°， ∴sin(A＋60°)＝2sinA， 即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA， 化简得sinA＝33 cosA，∴tanA＝，∴A＝30°. 33 2a－ctanB7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且＝，则角B的大小为________． ctanC答案 60° 2a－ctanB2sinA－sinCtanBsinBcosC解析 ∵＝，根据正弦定理，得＝＝. ctanCsinCtanCsinCcosB化简为2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC， ∴2sinAcosB＝sin(B＋C)． 1 在△ABC中，sin(B＋C)＝sinA，∴cosB＝. 2∵0° 8．(1)在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形； (2)在△ABC中，已知a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形． 解 (1)∵＝＝， sinAsinBsinC22× 1222 abc∴b＝ asinB22sin45° ＝＝sinAsin30° ＝4. ∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴c＝ asinC22sin105°22sin75° ＝＝＝2＋23. sinAsin30°1 2 (2)a＝23，b＝6，a bsinA6sin30°3 ＝＝，故B＝60°或120°. a223 2 2 当B＝60°时，C＝90°，c＝a＋b＝43； 当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝23. 所以B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23. 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC＝＝sinC时，求b的长． 解 ∵a＝2，sinC＝∴sinA＝ 10 ，2sinA＝sinC， 4 10，当a＝2，且2sinA4 10 ，∵在△ABC中，sinC>sinA，∴C>A， 8 366 ∴cosA＝，cosC＝±， 84 ∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC