例：求Harr小波的频域尺度函数和小波函数
?1 h0???2?1?2???1h1???21??? 2?w)w?Sin(?jww2 解： ?(w)??H0(k)?e?jw2?Cos(k?1)?e2?w222k?1k?1 H1(w)??h1(n)e?jnwn?j1w?jw?(1?e)?j?e2?Sin() 22ww)2(Sinww4 ?(w)?H1()?()????(w)?w224 其频域幅值图如Fig5–13所示
可发现其缺陷在于波纹太大 （原因—时域紧支撑） 例：理想LPF也构成正交小波
???1w? H0(w)??2
??0其它Sin?(1?n)2 解：h0(n)?IFT?H0(w)?? ?(1?n)?? Sinc(?)函数?Sinc小波 三．有关小波函数的一些概念 1.小波消失矩 （vanishing moment） 满足 m1(k)??tk?(t)dt?0,k?0,1,?N?1????则称?(t)具有N阶消失矩
①母小波?(t)平滑度由消失矩决定，消失矩越大，则?(w)频域衰减越快
?(t)越平滑
②消失矩越大，小波振荡程度越高 2.小波正则度（regularity） ①定义：小波?(t)的连续可导次数
②正则度为n的小波?(t)具有（n+1）阶消失矩（必要条件） 四．问题讨论
9
1.根据MRA理论
①小波和尺度函数均可由无穷频域次乘积得出，最终由h0(n)决定 ②不关心其解析表达式
2.MRA理论 离散小波的数值实现
5.4 小波变换与数字滤波器组
一．时间离散小波变换的实现途径 1.不能直接对定义式离散化实现
dm,n?S(t),?m,n(t)?S(t),2?(2mt?n) 令 l?kT(T?采样周期) 当m较小时，2mt?n不为整数
2.第一代小波变换：根据MRA理论，由数字滤波器组实现
3.第二代小波变换：Swelden算法 由预测和更新滤波器进行交替提升实现 二．Mallat算法 1.两个近似假设
①S(t)由某一尺度空间函数近似S(t)??Cm0n?m0n(t)?nm2滤波器组
（Mallat算法） （根据尺度函数和小波函数）
k?m0n??dn?1k,n?kn(t)
②Cm,n由采样数据直接近似 Cm,n?2m2?????S(t)?*(2mt?n)dt
??(t)??(w)??(t?n)?e?jnw?(w)?jnw2m
??(2mt?n)?e?(2?mw)?2?m
10
?2?(2t?n)?2mm2m?m2e?jn?2n?m?w?(2?mw)
?Cm,njmw???1?m2??2?S(w)?*(2w)e2dw
??2? 当分辨率m足够高时 ?*(2?mw)?0
?Cm,n?2?2?m2?
12??????S(w)ej2m?2?mnwdwm?2
S(t)t?2?mnS(2?mn)?2 故可直接用样本数据取代 2.Mallat算法 ①分解算法 a.推导
Cm?1,n??S(t)?m?1,n(t)dt?2????*m?12
?????S(t)?*(2m?1t?n)dt2mt?2nm?1?2?S(t)?*()dt??2??
两尺度关系 2??m?12?????S(t)?2?h0(i)?*(2mt?(2n?i))dt
i
??h0(i)?S(t)2?*(2mt?(2n?i))dti??m2?2?h0(i)??S(t),?m,2n?i(t)??2?h0(i)Cm,2n?iii
i??2n?i2?h0(i?2n)Cm,i
ii 同理 dm?1,n?2?h1(i?2n)Cm,i
Cm,n b.滤波器组实现（滑动内积+下采样） H0*(w) ?2 ?h0(?n)?
Cm?1,n
H1*(w) ?2 dm?1,n ?h1(?n)? 11
②重构算法
a.推导（由两尺度关系，正交关系，及奇偶讨论可导出）
?? Cm,n?2??h0(n?2i)Cm?1,i??h1(n?2i)dm?1,i?
i?i? b.滤波器组实现（上采样+滤波）
Cm?1,ndm?1,n ?2 H1(w) S(i) ?2 H0(w) 5.5 小波变换的应用
一．小波地位
小波曾火热一时，但小波不是万能的，在某些应用场合特别适用 小波无法求解微分方程纯数字和物理地位不如FT 二．信号检测方面应用 发动机声音中的撞击声检测
傅里叶分析：时间平均作用模糊了信号局部特性 Gabor变换 ：仍需长窗去包含振荡波形 小波变换 ： 小波基可任意窄 三．降噪应用 1.适用场合
经典滤波：要求信号与噪声频率足够窄且不重合 高斯类噪声和脉冲噪声 ? 宽带噪声 ? 小波去噪 2.滤波效果
①经典滤波：丢失波形尖锐处信息
②小波降噪：基本保留波形尖锐处信息（与小波基选择有关） 3.滤波手段
①传统方法：Prony参数建模法
12
②小波降噪
b.可证明其统计最优性
c.阈值比较（阈值T可基于信号标准差得出） 硬阈值：比较dm,n
软阈值：考虑dm,n符号，及其其它系数相关性 4.小波基选择：小波基应与主体信号量相近
相似度越高，主小波系数越大，噪声系数则越小?NI信号处理工具箱
a. 信号 小波变换分解
系数阈值比较 反变换 重构
输出 13