第五章 小波变换基本原理

问题

①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史

小波 构造？

1910 Harr小波

80年代初兴起 Meyer—小波解析形式

80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT无须尺度和小波函数—滤波器组实现

90年代初 Daubechies 正交小波变换

90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换

③小波变换与短时傅里叶变换比较

a．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT（要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法

多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies正交小波构造 MRA的滤波器实现

⑤小波的历史地位仍不如FT，并不是万能的

5.1 连续小波变换

一．CWT与时频分析 1.概念：CWT(a,b)?1a?????S(t)?*(t?b)dt a 2.小波变换与STFT用于时频分析的区别 基函数 STFT 小波变换 ?(t)?1a?*(t?b) a?(t)??(t?mT)ejwt 平移+调制（线性频轴） 时频轴 平移+伸缩 a—尺度—对数频轴 基函数特包络恒定，振荡不同 征 振荡恒定，包络恒定 1

时频分辨?(t?mT)ejwt，[mT,w]附近 ?w0??b,?附近 ?a?率 适用情况 2渐变信号 spectrogram 复数 突变信号 scalogram 实数 轴 结果 3.WT与STFT对比举例（Fig5–6, Fig5–7） 二．WT几个注意的问题

1.WT与?(t)选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波?(t)必须满足容许性条件 C??????(w)w2??dw??

①隐含要求 ?(0)?0,即?(t)具有带通特性 ②利用C?可推出反变换表达式

1 S(t)?C?1t?bCWT(a,b)?()dadb ??????a2a???? 3.CWT高度冗余（与CSTFT相似）

4.二进小波变换（对平移量b和尺度进行离散化） a?2,b?n?2?m?m??a,b(t)???1t?b?()??m,n(t)?22?(2mt?n)

aam dm,n?CWT(2?m,n?2?m)??S(t)?m,n*(t)dt

?? 5.小波变换具有时移不变性

S(t)?CWT(a,b)

S(t?b0)?CWT(a,b?b0) 6.用小波重构信号 S(t)?m???n??????????(t)正交小波dm,n?m,nm???n?????d????m,n?(t) ?m,n? 中心问题：如何构建对偶框架?m,n

2

??

如何构建正交小波？

5.2 分段逼近

学习目的—理解MRA 一．分段逼近的引入 PAM ?信号近似 ADC 很显然采样率越高，Ts越小， 逼近误差越小，采样率??无误差

1.采样率增大的尺度体现 Ts?1 fst ?1,0?t?1 ?(t)?? ?0,其它 用平移的?(t)版本对S(t)作近似 逼近函数?(t?n)?2?(2t?n)

1 1 t S(t)??C0,n?(t?n)?S(t)?2?C1,n?(2t?n) 尺度a?

nnm21 2

?一般式：S(t)?2?Cnm,n?(2mt?n)尺度a?2?m

S(?) m??,a?0,逼近收敛于 m?0,a??,逼近?0

2.两尺度函数间关系 ?(t)??(2t)??(2t?1)

1 1 ?(t) ?张成V0空间 ①张成空间满足V0?V1 ②两尺度空间差异在哪？ 3.表征细节的小波变换的引入

1 ?(2t) ?张成V1空间 12?(2t?1) 3

121 ?(t) ??(2t)??(t)??(t) 发现

2 ?(t)表细节 ?(t)??(t)?(2t?1)?2n ?S(t)?2?C1,n?(2t?n) n?2m,2m?1

??2??C1,2m?(2t?2m)??C1,2m?1?(2t?2m?1)?

m?m??(t?m)??(t?m)?(t?m)??(t?m)?? ?2??C1,2m??C1,2m?1? 22m?m? m?n?mC1,2n?C1,2n?12??(t?n)??nC1,2n?C1,2n?12??(t?n)

?V1?V0?W0 4.推广

m=-1 m=0 m=1 m=2 尺 度

V?1 V0 V0 W0 V1 W1 V1 V2

?V1?V1?W0?V?1?W?1?W0?Vm?Wm???W?2?W?1?W0?

V1?V????W?2?W?1?W0 Vm???Wm?3?Wm?2?Wm?1,m?

m?,逼近精度?V??limVm???W?2?W?1?W0?W1??m??m?,逼近精度?V???0

?m? ?22?(2mt?n)?包含信息量决定 ?形成最简单的MRA

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