【例2】设随机变量X与Y的概率分布列分别为 X P 0 1 31 2 3

Y P ?1 1 30 1 31 1 3且P(X2?Y2)?1，求 （1）（X,Y）的联合分布列； （2）Z=XY的分布列； （3）X 与Y的相关系数

解（1）由于P?X2?Y2??1，因此P?X2?Y2??0。故P?X?0,Y?1??0，因此

P?X?1,Y?1??P?X?1,Y?1??P?X?0,Y?1??P?Y?1??1/3 再由P?X?1,Y?0??0可知

P?X?0,Y?0??P?X?1,Y?0??P?X?0,Y?0??P?Y?0??1/3 同样，由P?X?0,Y??1??0可知

P?X?0,Y??1??P?X?1,Y??1??P?X?0,Y??1??P?Y??1??1/3 Y X 0 1 ?1 0 1 0 1/3 1/3 0 0 1/3 （2）Z?XY可能的取值有?1，0，1,其中P(Z??1)?P(X?1,Y??1)?1/3，

P(Z?1)?P(X?1,Y?1)?1/3，则有P(Z?0)?1/3。因此，Z?XY的分布律为

Z -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 （3）EX?2/3，EY?0，E(XY)?0,cov(X,Y)?0故?XY?0

25

题型2 二维连续型随机变量的各种分布

?1, y?x,0?x?1?f(x,y)?设随机变量（）的概率密度为 X,Y?【例3】

??0, 其他1111试求fX(x)，fY(y)，fX|Y(x|y)，fX|Y(x|?)，P(X?|Y?0)，P(X?|Y??)

2222x????dy?2x, 0?x?1 解 fX(x)??f(x,y)dy????x

????0, 其他fY(y)???????1dx?1?y, 0?y?1??y???1?y, y?1?1 f(x,y)dx???dx?1?y, ?1?y?0???y0, 其他????0, 其他???1,y?x,0?x?1f(x,y)?1?yfX|Y(x|y)???

fY(y)??0,others?1111, ??x,0?x?1?f(x,?)?2, ?x?111??22?1?fX|Y(x|?)?? 2??122?0, 其他fY(?)??2??0, 其他1P(X?,Y?0)132P(X?|Y?0)??（由均匀分布的性质可得。） 2P(Y?0)4?1111P(X?|Y??)??1fX|Y(x|?)dx??12dx?1

22222【练习1】将上题的联合密度函数改为以下形式，重新求解以上各小题：

???1, y??x,?1?x?0?1, x?y,0?y?1（1）f(x,y)?? （2）f(x,y)??

???0, 其他?0, 其他???1, x??y,?1?y?0?1, ?1?x?1,y?x?1（3）f(x,y)?? （4）f(x,y)??

0, 其他0, 其他????【练习2】设二维随机变量(X?Y)的概率密度为

f(x,y)?Ae?2x?2xy?y,???x??,???y??,

26

22

求常数及A条件概率密度fY|X(y|x). 答案：A?1?，fY|X(y|x)???1?e?x2?2xy?y2,?x,y?R

解 由概率密度的性质????????f(x,y)dxdy?1，可知

dxdy?A?edx?e?(x?y)dy?1

??2??????2??????Ae?2x2?2xy?y2???x2??2??又知?e?xdx??，有?e?xdx?e?(x?y)dy??????所以A?????????2??1?。

fX(x)?1?e?x2?????e?(x?y)dy?21?e?x???21?e?x,???x???

21fYX(yx)?f(x,y)??1?x2fX(x)ee?2x2?2xy?y2?1?2e?(x?y),???x???,???y???

2?注：本题要充分运用概率积分?e?xdx??。

????0,min{x,y}?0?【练习3】设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)??min{x,y},0?min{x,y}?1，

?1,min{x,y}?1??0,x?0?求X的分布函数。 答案：FX(x)??x,0?x?1

?1,x?1?题型3 多维随机变量函数的分布

【例4】设?,?是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知?的分布率为P(??i)?1,i?1,2,3.又设X?max(?,?),Y?min(?,?).求(X,Y)联合分布列。

3解 P(X?i,Y?i)?P(??i,??i)?P(??i)P(??i)?1 9

i?j,P(X?i,Y?j)?2P(??i,??j)?2P(??i)P(??j)?i?j,P(X?i,Y?j)?029

27

【例5】设二维随机变量（X, Y）的概率密度为

?1,0?x?1,0?y?2x, f(x,y)???0,其他.求Z?2X?Y的概率密度fZ(z)。

分析：可用分布函数法求解。用已知的aX?bY的公式求解，则会更简单些。 解法1 令FZ(z)?P{Z?z}?P{2X?Y?z}，

1） 当z?0时，FZ(z)?P{2X?Y?z}?0；

2） 当0?z?2时，FZ(z)?P{2X?Y?z} =z?12z; 4 3) 当z?2时，FZ(z)?P{2X?Y?z}?1.

?0,z?0,?10?z?2,?12?分布函数：FZ(z)??z?z,0?z?2, 概率密度：fZ(z)??1?2z,

4其他.???0,z?2.1,???解法2 由fZ(z)?????0?x?1??0?x?1z?， f(x,2x?z)dx，注意到???x?0?2x?z?2x2????z?0于是当z?0时，fZ(z)?0；下设z?0，若z?2，则上面不等式组解集为空集，从而当0?z?2时，不等式组解集为

??1z?x?1，此时 2fZ(z)?????1z?1?z,0?z?2f(x,2x?z)dx??z1dx?1?，即fZ(z)??2

其他.22??0,【例6】 设随机变量X与Y相互独立, 且X~U(0,1), Y在区间[0,2]上服从辛

0?y?1?y?普森分布, 即fY(y)??2?y1?y?2，求随机变量Z?X?Y的概率密度.

?0其它? 28