?2F(x,y)4. 在f(x,y)的连续点(x,y)有?f(x,y);

?x?y5. 随机点(X,Y)落在区域D内的概率

P((X,Y)?D)???f(x,y)dxdy?DD,f?0??f(x,y)dxdy

由于联合概率密度f(x,y)往往是一个分段函数，因此在具体积分时，既要考虑到平面域D，又要考虑到联合概率密度f(x,y)取值为非0的区域，因此，常常是在二者的交集上的积分，这时，采用画图的方式确定积分上下限，就会变得直观而且简单。

四、混合型的二维随机变量

设二维随机变量(X,Y)，其中X为离散型随机变量，P(X?xi)?pi,i?1,2,,n，

Y为连续型随机变量，密度函数为f(x)。此种二维随机变量的联合分布如何求？

§2 边缘分布

一、边缘分布函数：设联合分布函数F(x,y)则

FX(x)?F(x,??)?limF(x,y), FY(y)?F(??,y)?limF(x,y),

y???x???二、离散型随机变量的边缘分布

1、边缘分布律 P(X?xi)??pij?pi? P(Y?yj)??pij?p?j

j?1i?1??2、边缘密度函数 XfX(x)??????f(x,y)dy, Y~fY(y)??????f(x,y)dx.

总结：求解边缘概率密度的一般规律！ §3 条件分布

1、离散型随机变量的条件分布律

P(X?xiY?yj)?pijp?j P(Y?yjX?xi)?pijpi?

于是 pij?p?j?P(X?xiY?yj)?pi??P(Y?yjX?xi)

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2、连续型随机变量的条件概率密度函数

Y?y的条件下X的条件密度函数fXY(xy)deff(x,y)； fY(y)f(x,y)； fX(x)X?x的条件下Y的条件密度函数fYX(yx)def3、条件分布函数

由条件分布列或条件概率密度可求得条件分布函数：

def在Y?y的条件下X的条件分布函数：FXY(xy)P(X?xY?y)； def在X?x的条件下Y的条件分布函数：FYX(yx)P(Y?yX?x)；

§4 相互独立的随机变量

一、判断方法 1、公式法：

P(X?x,Y?y)?P(X?x)?P(Y?y)F(x,y)?FX(x)?FY(y)

pij?pi??p?jf(x,y)?fX(x)?fY(y)fX|Y(x|y)?fX(x)或fY|X(y|x)?fY(y)2、直观判断：

定理 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，X,Y相互独立的充要条件是：存在两个一元函数f(x),g(y)，使得F(x,y)?f(x)?g(y)

注：对于连续型(X,Y)的联合概率密度f(x,y)，结论也成立。 二、两个重要的二维分布 1、二维均匀分布

?1?, (x,y)?D,（1）密度函数为f(x,y)??SD其中SD为平面闭域D的面积。

?0, 其它.?（2）二维均匀分布的性质：

设(X,Y)服从上述均匀分布，若D1?D则P?(X,Y)?D1??

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D1的面积

D的面积

2、二维正态分布

2设(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?)，则

2（1）边缘分布为正态分布，即X~N(?1,?12),Y~N(?2,?2)；

（2）X,Y相互独立的充要条件是??0

（3）则a1X?a2Y服从正态分布，其中a1,a2不全为0 （4）二元正态分布的两个条件分布均为正态分布.

（5）若X,Y均服从正态分布且相互独立，则(X,Y)也服从二维正态分布；

§5 两个随机变量的函数的分布

问题：已知(X,Y)的分布，Z?g(X,Y)是X,Y的连续函数，求Z的分布。 注意：(X,Y)是二维连续型随机变量，Z?g(X,Y)不一定是连续型随机变量， 一、 (X,Y)为离散型随机变量，已知(X,Y)的分布律，一般可用列举法求出Z的

分布律。

二、 (X,Y)为连续型随机变量，分以下五种情况考虑： 1、和的分布

fZ(z)??独立??????f(x,z?x)dx??????f(z?y,y)dy??

????fX(x)fY(z?x)dx????fX(z?y)fY(y)dy注意：使用卷积公式的技巧！！

确定z的间断点的实质：求解两个被积函数都非零的不等式组！这是因为：

fZ(z)??????f(x,z?x)dx?f?0?f(x,z?x)dx?f?0?f(x,z?x)dx?f?0?f(x,z?x)dx

2、线性组合的分布（推广的卷积公式）

若X,Y相互独立，边缘密度函数分别为，则线性和Z?aX?bY(a,b?0)的密度函数为

??1111fZ(z)??f(x,(z?ax))dx??f((z?by),y)dy??|b|??|a|ba 独立??1??111??f(x)fY((z?ax))dx??f((z?by))fY(y)dy??|b|X??|a|Xab?? 23

注：满足可加性的分布：二项、泊松、正态，?2分布。 3、一般函数Z?g(X,Y)

（分布函数法） 若已知(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，可用积分方法求Z的分布函数，进而再求密度函数。

fZ(z)?P?g(X,Y)?z????f(x,y)dydx?DD?(f?0)??f(x,y)dydx

其中D为?g(x,y)?z?，fZ(z)?FZ?(z) 4、极值分布

M?max(X,Y)。已知X,Y的分布函数分别为FX(x),FY(y),X,Y相互独立。

Fmax(z)?FX(z)FY(z)

N?min(X,Y)。已知X,Y的分布函数分别为FX(x),FY(y),X,Y相互独立。

Fmin(z)?1??1?FX(z)??1?FY(z)?

重点题型归纳

题型1 二维离散型随机变量的各种分布

【例1】设某班车起点站上客人数X服从参数为λ（λ＞０）的泊松分布，乘客在中途下车的概率为p（０＜p＜１），且中途下车与否相互独立．Y为中途下车的人数，求：

（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率； （2）二维随机变量（X，Y）的概率分布． 分析：考察二项分布和联合分布列的求解

mm?Cnp(1?p)n?m,n?m答案：（1）P(Y?m|X?n)??，其中m,n?0,1,2,?0,n?m

n?mmn?m?e??,n?m?Cnp(1?p)（2），P(X?n,Y?m)?P(X?n)?P(Y?m|X?n)??n!?0,n?m?其中m,n?0,1,2,

注：一定要注意写法的严密性！

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