的概率为0.001，设此类被保人一年内死亡的人数为 X，则X服从什么分布？

设此类被保人一年内活着的人数为 Y，则Y服从什么分布？ 3、泊松分布：P?X?k???ke??k! (k?0,1,2,)，记为X~P(?)。

泊松定理 对确定的n和p，如果n很大，而np不太大（比如n?50,np?10）时，二项分布可以用泊松分布近似，即

P?X?k??Cp(1?p)knkn?k??ke??k! （其中??np）

4、几何分布

P?X?k??p(1?p)k?1 (k?1,2,)

写任何离散型随机变量的分布律时，一定要写上随机变量的取值范围！！

§2随机变量的分布函数

一、分布函数定义

1、随机变量X的分布函数：F(x)?P?X?x?，(???x???)

分布函数完整地描述了随机变量X的统计规律性。

注：分布函数、密度函数的定义域都是R，任何情况下都要在整个实数域上讨论这两个函数！！

2、离散型随机变量X，若已知分布律为 P?X?xk??pk,k?1,2,，

x?x1;?0,?p,x1?x?x2;?1??p?p2,x2?x?x3;则X的分布函数为F(x)??1

,??p1?pn?1,xn?1?x?xn???注意：F(x)的各区间xn?1?x?xn，之所以写成前闭后开的形式，是为了使得F(x)满足右连续性，对于离散型和混合型随机变量一定要这样写！以后即便是对于连

续型随机变量的分布函数，对于区间端点也尽量按照这种写法。 二、 分布函数的性质

（1）0?F(x)?1；F(??)?limF(x)?0,F(??)?limF(x)?1；

x???x???（2）F(x)是x的单调非降右连续函数； （3）用分布函数表示概率

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?P?a?X?b??F(b)?F(a)??P?a?X?b??F(b)?F(a?0)? P?X?a??F(a?0)??P?a?X?b??F(b?0)?F(a)??P?a?X?b??F(b?0)?F(a?0)?P?X?a??F(a)?F(a?0)?注：（1）任何随机变量都存在分布函数。离散型随机变量的分布函数是阶梯函数，连续型随机变量的分布函数是连续函数，但密度函数不一定连续；

（2）只有具有密度函数的随机变量才称为连续型的随机变量，但分布函数连续却不一定是连续型的随机变量；

（3）混合型随机变量的分布函数一般来说不是连续函数，因此可以据此判断其类型。

§3 连续型随机变量

一 、连续型随机变量的定义

1、随机变量X的分布函数为F(x)??2、密度函数的性质 （1）f(x)?0； （2）归一性：???x??f(t)dt，

??f(x)dx?1

（3）F(x)在(??,??)上是x的连续函数； （4）对任何实数值a，恒有P?X?a??0；

（5）在f(x)的连续点，F(x)可导，且F?(x)?f(x)； （6）对任何值a,b都有

P?a?X?b??P?a?X?b??P?a?X?b??P?a?X?b???f(x)dx

ab更一般的，

P(X?G)??f(x)dx?GG?(f?0)?f(x)dx

关于连续型随机变量的所有问题都可以归结为这个公式。对一个分布函数F(x)，概率密度函数不是惟一的；但对一个密度函数，分布函数是唯一的。 二、重要的连续型随机变量 1、均匀分布X~U(a,b)：

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?0, x?a,1??x?a,a?x?b,??密度函数f(x)??b?a 分布函数F(x)??,a?x?b,

??b?a?0, others.??1, 其他.d?c， b?a称均匀分布满足几何概率。即X在[a，b]的任一子区间取值的概率与该子区间的长度成正比，而与子区间的位置无关，这就是均匀分布的几何意义。

性质 设X~U(a,b)，若(c,d)?(a,b)，则有P?c?X?d??2、指数分布E(?)

??e??x x?0密度函数为 f(x)???0, x?0?0, x?0分布函数F(x)?? ??x?1?e, x?0(??0)，

性质（无记忆性） 设X服从指数分布，对任何正数x0,x，必有

P?X?x0?xX?x0??P?X?x?

无记忆性年龄的解释 3、 正态分布X~N(?,?2)。

密度函数f(x)?1e2???(x??)22?2 (???x???)

标准正态分布 记为X~N(0,1)， 分布函数?(x)??x??1edt 2??t22性质 ①?(x)??(?x)?1,?(?x)?1??(x)；

②X~N(0,1)?P(|X|?x)??(x)??(?x)?2?(x)?1； ③若X~N(?,?2)，则

X???~N(0,1)，且

?b????a???P?a?X?b?????????

?????? 11

§4 随机变量的函数的分布

问题：已知X的分布，Y是X的连续函数Y?g(X)，求Y的分布。 注意，X为连续型随机变量，Y?g(X)不一定是连续型随机变量。

1、X为离散型随机变量：已知X的分布律，可用列举法求出Y的分布律。如果其中g(xi)有相同的，再进行适当合并，即将取值相同的对应概率相加。 2、X为连续型随机变量

（1） 分布函数法:已知X的分布函数fX(x),Y?g(X),求Y的分布函数

FY(y):FY(y)?P?Y?y??P?g(X)?y?

（2） 公式法：已知X的密度函数fX(x),x?(a,b),Y?g(X)连续，若y?g(x) 在(a,b)上单调、可导，且g?(x)?0,则Y的密度函数为

?1?1??fX[g(y)][g(y)]?y, y?(a,?),fY(y)??

??0, 其它.其中 ??min[g(a),g(b)], ??max[g(a),g(b)].

注：求解随机变量函数的分布有两种方法：一是分布函数法，另外一个之公式

法，应能够辨别这两种使用的环境。实际上，分布函数法适用于任何情形，所以必须掌握。

这个知识点对同学们来讲，最困难的可能是担心对分布函数所求的分界点找不正确，其实这是不难解决的，运用分布函数法的时候，一定要沉著冷静，该讨论的时候就讨论，用不着的时候就不要勉强。

题型1 分布函数和密度函数的概念及性质

【例1】 设X和Y是相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为fX(x)和fY(y)，分布函数分别为FX(x)和FY(y)，则

（Ａ）fX(x)＋fY(x)必为密度函数； (B) fX(x)fY(x)必为密度函数；

（Ｃ）FX(x)＋FY(x)必为某一随机变量的分布函数；

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