解 记D?｛A,B,C至多有一个发生｝，则

P(D)?1?P(D)?1?P(AB?AC?BC)?1?[P(AB)?P(AC)?P(BC)?2P(ABC)]?34

【例7】设事件A,B,C满足条件：

11P(A)?P(B)?P(C)?,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?

467则事件A,B,C都不发生的概率为（ ）答案：

12【练习1】已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率

P(B|A)?0.8,则和事件

AB的概率

P(AB)=_____0.7_______.

【练习2】甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.

解 A?｛甲中｝，B?{乙中}，C?｛命中目标｝，则A,B独立，且C?A?B，所求概率为 P(A|C)?P(AC)P(A)P(A)???P(C)P(A?B)P(A)?P(B)?P(A)P(B)3? 4题型3 古典概型与几何概型

【例8】在顶点为（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）的正方形中任意投入一点记为

M(?,?),求方程x2??x???0有实根的概率。

分析：考察几何概型问题的计算。

解：这是一个几何概型，样本空间为??{(?,?)|0??,??1}

A?{(?,?)|(?,?)??,?2?4??0}，从而P(A)?SA3? S?4评注：（1）应熟悉几何概型的一般计算步骤； （2）几何概型的问题通常都可以转化为随机变量的方法来解决，请试用随机变量的方法来解决此题。

【练习1】随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内掷点，落在半圆内任何 区域的概率与区域的面积成正比,求原点和该点的连线与x轴的夹角小于?的概

4 5

2??） 2?【练习2】甲乙两船驶向一个不能同时停靠两只船的码头，它们在一昼夜到达的时间是等可能的，如果甲船停泊的时间是1小时，乙船停靠时间是2小时，求任意一只船都不需要等待的概率。

率。答案（

解 设甲乙两船到达时刻分别为x,y，则样本空间G?{(x,y)|0?x,y?24}，从而 甲先到，乙船不需等待的充要条件是：0?x?x?1?y?24； 乙先到，甲船不需等待的充要条件是：0?y?y?2?x?24；

1(232?222)1013于是两船都不需要等待的概率为p?2 ?2421152

题型4 四大重要公式

四大重要公式是指条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式 【例9】（06，4分）设A,B为随机事件，且P(B)?0,P(A|B)?1，则必有

（A）P(A?B)?P(A). （C）P(A?B)?P(A).

（B）P(A?B)?P(B). （D）P(A?B)?P(B).

11,P(C)?,则23【例10】（2012，1）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，P(AB)?P(ABC)?________。

?解 由条件概率的定义，PABC???P?ABC?P?C?，其中PC?1?P?C??1???12?， 33P?ABC??P?AB??P?ABC??1?P?ABC?，由于A,C互不相容，即AC??，213P?AC??0，又ABC?AC，得P?ABC??0，代入得P?ABC??，故PABC?

24??【例11】设随机变量X解

P(?)，随机变量Y在0X间取值，求P(Y?2)。

6

P(Y?2)??P(X?i)P(Y?2|X?i)i?0???[i?2??ii!e???1]i?1???1e????k?3??kk!???1e???(e??1????2

2)题型5 事件的独立性与贝努利概型

【例12】设A、B是两个随机事件，且0?P(A)?1,P(B)?0, P(B|A)?P(B|A)，则必有 A，B相互独立 注：独立性的等价命题：

P(AB)?P(A)P(B)P(B|A)?P(B|A)P(A|B)?P(A)P(B|A)?P(B|A)?1

思考： 若相互独立的事件A，B，且C?A,D?B，则C,D是否独立？ 【例13】设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件；ABC??，

19P(A)?P(B)?P(C)?，且已知P(A?B?C)?，则P(A)? 。

216分析：该题重点考察多个随机事件独立性的定义与多个事件两两独立的不同。 答案：0.25，直接利用三个事件的加法公式。 但下面的做法是错误的：

9?P(ABC)?1?P?ABC??1?P(A)P(B)P(C)?1?(1?P(A))3 16【例14】将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件

（A）A1,A2,A3相互独立。 （C）A1,A2,A3两两独立。

（B）A2,A3,A4相互独立。 （D）A2,A3,A4两两独立。

1解 P(A1A2A3)?0，但P(A1)?P(A2)?P(A3)?，于是三个事件不是相互独立，

2然而可验证两两独立，即答案C正确 !

【例15】某人向同一目标独立的重复射击，每次射击命中目标的概率为p

（(0?p?1)，则此人第４次射击恰好第２次命中的概率3p2(1?p)2. 注：应用贝努利概型的时候，务必要注意明确定义中的各个符号的含义。

1【例16】设两个相互独立的事件A,B都不发生的概率为，A发生且B不发生

9

7

的概率等于B发生且A不发生的概率，则P(A)?（ ）

12解 P(AB)?P(AB)?P(A)?P(B)，?P(AB)?[1?P(A)]2?P(A)?

93【例17】相互独立的三事件A，B和C满足：P(A)?0.4,P(B)?P(C)?0.5，则

P(A?C|AB?C)? 解 P(A?C|AB?C)?P(AC?(AB?C))P(ABC)??

P(AB?C)P(AB)?P(C)?P(ABC)第二章 随机变量及其分布

知识要点精讲 §1随机变量的概念

1、随机变量

随机变量X(e)是一个函数，定义在样本空间S上取实数的单值函数。 直观地讲，随机变量就是随着机会的不同而变化的量，机会就是样本点！

随机变量的分类：离散型、连续型和混合型。

§1离散型随机变量及分布律

一、离散型随机变量

1、分布律：P?X?xk??pk,k?1,2,2、分布律的性质： 二、重要的离散型随机变量

1、（0-1）分布：P?X?k??pk(1?p)1?k (k?0,1) 2、伯努利分布（二项分布）XB(n,p)

。

kn?kP?X?k??Ck (k?0,1,2,np(1?p),n)。

注：应用时要注意X的含义务必和p的含义保持一致！

例 保险公司售出某种寿险（一年）保单2500份.每单交保费100元，当被保人一年内死亡时，家属可从保险公司获得2万元的赔偿.若此类被保人一年内死亡

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