解 由行列式的定义，Y?j1j2?(?1)?(j1j2jn)jnX1j1X2j2Xnjn，又由于随机变量

Xij(i,j?1,2,,n;n?2)独立同分布，EXij?2,，所以根据数学期望的性质得

EY???j1j2?(?1)?(j1j2jnjn)E(X1j1X2j2Xnjn)E(Xnjn)

j1j2??(?1)?(j1j2jnjn)E(X1j1)E(X2j2)2n?0(?1)?(j1j2jnjn)j1j2?x?1?Fx?0.3?x?0.7????? 【例2】设随机变量X的分布函数为??2??其中??x?为标准正态分布函数，则EX? DX? 分析：结合正态分布的分布函数求解随机变量的期望。 解：随机变量X的分布函数f(x)?F??x??0.3?(x)?0.35?(?x?1)，所以 2??x?1x?1EX??x[0.3?(x)?0.35?()]dx?0.3?x?(x)dx?0.35?x?()dx??????22

?0?0.35?2?(2t?1)?(t)dt?0.7???E(X2)??x2[0.3?(x)?0.35?(???2?????x?1x?1)]dx?0.3?x2?(x)dx?0.35?x2?()dx????222

?0.3?0.35?2?(2t?1)?(t)dt?0.3?0.7E(2Y?1)?0.3?0.7?5?3.8DX?E(X2)?(EX)2?3.8?0.72?3.31

【例3】设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记

U=max{X,Y},V=min{ X,Y }，则E(UV)= E（U+V）=

答案：E(UV)?E(XY)?EX?EY；E(U?V)?E(X?Y)?E(X)?E(Y) 注：此题在2011和2012连续考过。

【例4】设EX??,DX??2，则证明?x?R，E(X?x)2?E(X??)2。 证明 令f(x)?E(X?x)2?x2?2?x??2，则??

?0,x??2?0.2,?2?x?1?【例5】设X的分布函数为F(x)??，Y?X2?1,求E(XY)? ?0.8,1?x?2??1,x?2

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解 先写出X的分布列，再求解即可。

【例6】设X的密度函数为f(x)?解

12?1dx?min{x,1}dx22???0?(1?x)?1?x

?2111ln21?[?x?dx?dx??22?01?1?x1?x?2EY?E(min{|X|,1})??min{|x|,1}?1,?x?R，令Y?min{|X|,1}，求EY

?(1?x2)【例7】随机变量X与Y相互独立同分布，X~N(?,?2)，Z?max{X,Y}

W?min{X,Y}求EZ,EW

分析：注意到Z?max{X,Y}?X?Y?|X?Y|X?Y?|X?Y|，W?min{X,Y}?

22X?Y~N(0,2?2)?E|X?Y|将会大大简化计算。 【例8】设X的密度函数为f(x)??1?e?x2?2x?1,?x?R，则EX? DX? 解 f(x)?

1?e?x2?2x?1?12??12e(x?1)2122?()21?X~N(1,)

2【练习1】某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X). 答案：EX?

1,pDX?1?p p2?12cosf(x)?设随机变量X的概率密度为?【练习2】

?0复观察４次，用Ｙ表示观察值大于

x20?x??，对X独立地重

其他?的次数，求Y2的数学期望．答案：5 3 38

题型二 复杂随机变量分解为简单随机变量和的情形

如果求X的分布十分困难，可将X分解为X1??Xn，从而EX容易求出。

这种处理方法具有十分普遍的意义。这种做法可以用来求解二项分布的期望，超几何分布的期望等等，是一种非常重要的做法。

【例9】一台仪器有三个元件，各元件发生故障的概率分别为0.2，0.3，0.4 ，且相互独立，试用两种方法求发生故障的元件数X的数学期望。（写出X的分布律及不写出X的分布律的两种情况下。） 解：1) P(X?0)?0.8?0.7?0.6?0.336

P(X?1)?0.2?0.7?0.6?0.8?0.3?0.6?0.8?0.7?0.4?0.452 P(X?2)?0.2?0.3?0.6?0.2?0.7?0.4?0.8?0.3?0.4?0.188 P(X?3)?0.2?0.3?0.4?0.024

E(X)?0?0.336?1?0.452?2?0.188?3?0.024?0.9

?1,2) 设Ai－第i个元件发生故障，令Xi???0,则X?X1?X2?X3，显然E(Xi)＝P(Ai)

Ai出现Ai不出现

?E(X)?E(X1)?E(X2)?E(X3)?0.2?0.3?0.4?0.9 注 利用这种方法可以简单地求出二项分布的期望和方差！ 【例10】掷骰子100次，求点数之和的数学期望与方差。

i?1,解 用Xi表示第i次掷骰子出现的点数，

,100,则P?Xi?k??1 (k?1,6,6)

且X1,X2,100,X100相互独立，以X表示掷骰子100次出现的点数之和，于是

61735，从而 X??Xi，又因 EXi??k??, DXi?6212k?1i?17?100?100EX?E??Xi???EXi?100??3502?i?1?i?1

10010035875??DX?D??Xi???DXi?100??123?i?1?i?1

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【例11】将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对. 记X为总的配对数，求E(X),D(X) 解 设Xi为第i球(i?1,,n)放入盒内得到的配对数，则它的概率分布为

Xi 0 n?1 n1 1 nnPr 1则EXi?，而总配对数X?X1?n1?Xn，所以，EX?E(?Xi)?n??1。

ni?1又DXi?111(1?)，P(Xj?1|Xi?1)?， nnn?111?nn?1E(XiXj)?P(Xi?1,Xj?1)?P(Xi?1)?P(Xj?1|Xi?1)?cov(Xi,Xj)?E(XiXj)?E(Xi)E(Xj)?E(XiXj)?11111； ????222nnn?1nn(n?1)所以

DX??D(Xi)?2i?1n111cov(X,X)?[(1?)]?2???2ijn1?i?j?ni?1n1?i?j?nn(n?1)2n11n?n1?n?(1?)?2?2nn2n(n?1)

?1题型三 协方差和相关系数的求解与性质

【例12】设随机变量X与Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且X与Y的相

1关系数?xy??,设Z?X?Y,232

(1)求Z的数学期望EZ和DZ方差. (2)求X与Z的相关系数?xz.

1111解（1）EZ?EX?EY??1?0?

3233111111DZ?DX?DY?2??cov(X,Y)?1?4?2???XY?3?4?3

943232111??XZ?0 （2）cov(X,Z)?DX?cov(X,Y)?3???XY?3?4?0322

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